電子回路・半導体デバイスの問題

図のように、電気容量 $C=0.10\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーと抵抗値 $R=1.0\mathrm{k\Omega }$ の抵抗を直列につなぎ、両端に周波数 $f$ の正弦波交流電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を加える。コンデンサーは入力端子側、抵抗は接地側にあり、抵抗の両端の電圧を出力電圧 $v_{\mathrm{out}}$ とする。出力端子には何もつながない（出力端子に流れ出る電流は $0$）。電源の内部インピーダンスは $0$ とする。

電圧伝達関数 $H(j\omega )=\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}$（$\omega =2\pi f$、$V_{\mathrm{in}}$, $V_{\mathrm{out}}$ は複素振幅、$j$ は虚数単位）の大きさ $|H|$ が、周波数を十分高くしたときの値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる周波数（遮断周波数）$f_c$ は何 Hz か。$\pi$ を用いた正確な値で求めよ。

図のように、角周波数 $\omega$ の正弦波交流電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を出す理想的な交流電源（内部インピーダンス $0$）に、抵抗値 $R$ の抵抗と自己インダクタンス $L$ のコイルを直列に接続し、コイルの両端の電圧を出力電圧 $v_{\mathrm{out}}$ として取り出す。出力端子には何も接続しない（開放）。コイルの抵抗は無視でき、$R>0$, $L>0$, $\omega >0$ とする。

出力電圧の振幅が入力電圧の振幅のちょうど $\frac{1}{2}$ になる角周波数 $\omega$ を、$R$, $L$ を用いて表せ。

図のように、角周波数 $\omega$ の正弦波交流電圧 $v_{\mathrm{in}}$ を出す理想的な交流電源（内部インピーダンス $0$）に、自己インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、静電容量 $C=1.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー、抵抗値 $R=100\Omega$ の抵抗をこの順に直列につなぎ、抵抗の両端の電圧 $v_{\mathrm{out}}$ を出力とする帯域通過フィルタを考える。出力端子には何もつながない（出力電流は $0$）。コイル・コンデンサーは理想的な素子とし、コイルの巻線の抵抗は無視する。

電圧利得 $\left|\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right|$（$V_{\mathrm{in}},V_{\mathrm{out}}$ は $v_{\mathrm{in}},v_{\mathrm{out}}$ の複素振幅）が、その最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる角周波数は 2 つある。それらを小さい方を ${\omega }_1$、大きい方を ${\omega }_2$ とするとき、$({\omega }_1,{\omega }_2)$ を単位 $rad/s$ で、根号を用いた正確な値で求めよ。

図のように、入力端子に抵抗 $R=10\mathrm{k\Omega }$ を直列に入れ、その後ろでコンデンサー $C=10\mathrm{nF}$ と負荷抵抗 $R_L=40\mathrm{k\Omega }$ を並列に出力端子へつないだ RC ローパスフィルタがある。入力には内部インピーダンスが $0$ の正弦波電圧源をつなぎ、入力電圧の複素振幅を $V_{\mathrm{in}}$、負荷抵抗の両端の電圧（出力電圧）の複素振幅を $V_{\mathrm{out}}$ とする。素子はすべて理想的とし、回路は定常状態にあるとする。

電圧伝達関数 $H(j\omega )=V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ の大きさ $|H|$ が、直流（$\omega \to 0$）での値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる周波数を遮断周波数 $f_c$ とする。$f_c$ は何 Hz か。円周率は $\pi =3.14159$ とし、有効数字 3 桁で求めよ。

図のように、起電力 $v_i$（角周波数 $\omega$ の正弦波）で内部抵抗 $R_s=40\Omega$ の交流電圧源に、インダクタンス $L=10\mathrm{mH}$ のコイル、静電容量 $C=1.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサー、抵抗 $R=60\Omega$ の抵抗をこの順に直列につなぎ、抵抗 $R$ の両端の電圧を出力電圧 $v_o$ とする帯域通過フィルタがある。出力端子には何もつながっていない。

電圧伝達関数の大きさ $|v_o/v_i|$ が、その最大値の $1/\sqrt{2}$ 倍になる角周波数のうち、小さい方を ${\omega }_L$、大きい方を ${\omega }_H$ とする。${\omega }_L$ と ${\omega }_H$（単位はいずれも $rad/s$）を、根号を用いた正確な値で、この順に組 $({\omega }_L,{\omega }_H)$ として求めよ。ただし、コイル・コンデンサーは理想素子とし、回路は定常状態にあるものとする。