酵素反応の積分形

ミカエリス・メンテンの速度式（生成物阻害を含む場合も）を $[P] = [S]_{0} - [S]$ で 1 変数にして変数分離・積分し、基質がある割合だけ変換されるまでの時間を求められる

前提

酵素反応の阻害（大学化学反応速度論）
変数分離形（大学数学微分方程式）

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変数分離形（大学数学微分方程式）

説明

ミカエリス・メンテンの式は「その瞬間の基質濃度 $[S]$ での速度」を与えますが、反応が進むと $[S]$ が減って速度も落ちていきます。この技能では、速度式を微分方程式とみなして積分し、基質濃度と時間の関係（積分形）を求めます。これにより「基質の 90% が変換されるまでに何分かかるか」のような、反応全体の進み方に関する問いに答えられます。生成物が酵素を阻害する場合も、 $[P] = [S]_{0} - [S]$ を使えば同じ方法で扱えます。

なぜそうしてよいのか

基質の減る速さは $- \frac{d [ S ]}{d t} = v$ で、ミカエリス・メンテンの式から $v = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{M} + [ S ]}$ です。右辺は $[S]$ だけの関数なので、これは変数分離形の微分方程式です。 $[S]$ を含む部分を左辺、 $d t$ を右辺に集めると
$\frac{K _{M} + [ S ]}{[ S ]} d [S] = (\frac{K _{M}}{[ S ]} + 1) d [S] = - V_{m a x} d t$
となり、左辺は $\frac{1}{[ S ]}$ と定数の和なので簡単に積分できます。 $t = 0$ で $[S] = [S]_{0}$ として $0$ から $t$ まで積分すると（ $[S] > 0$ なので絶対値は不要）
$K_{M} lo g \frac{[ S ] _{0}}{[ S ]} + ([S]_{0} - [S]) = V_{m a x} t$
が得られます。これがミカエリス・メンテンの式の積分形です。

直観的には、 $[S] ≫ K_{M}$ のときは速度がほぼ $V_{m a x}$ で一定（0 次反応）なので第 2 項 $[S]_{0} - [S]$ が効き、 $[S] ≪ K_{M}$ のときは速度がほぼ $\frac{V _{m a x}}{K _{M}} [S]$ （1 次反応）なので対数の項が効きます。積分形はこの 2 つの振る舞いを足し合わせた形になっています。

生成物 P が阻害する場合も考え方は同じです。例えば P が競合阻害剤（阻害定数 $K_{P}$ ）なら $v = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{M} ( 1 + [ P ] / K _{P} ) + [ S ]}$ ですが、 $[P]$ は時間とともに変わるので、そのままでは積分できません。基質 1 個から生成物 1 個ができるので $[P] = [S]_{0} - [S]$ を代入すれば、分母は $K_{M} (1 + \frac{[ S ] _{0}}{K _{P}}) + (1 - \frac{K _{M}}{K _{P}}) [S]$ という $[S]$ の 1 次式になり、阻害なしの場合と同じく変数分離して積分できます。結果は
$K_{M} (1 + \frac{[ S ] _{0}}{K _{P}}) lo g \frac{[ S ] _{0}}{[ S ]} + (1 - \frac{K _{M}}{K _{P}}) ([S]_{0} - [S]) = V_{m a x} t$
です。

手順

速度式を $- \frac{d [ S ]}{d t} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{( 分母 )}$ の形に書く。生成物阻害があれば、阻害の補正係数の中の $[P]$ に $[P] = [S]_{0} - [S]$ を代入し、右辺を $[S]$ だけの式にする
分母を $A + B [S]$ （ $A, B$ は定数）の形に整理し、変数分離して $(\frac{A}{[ S ]} + B) d [S] = - V_{m a x} d t$ とする
$t = 0$ で $[S] = [S]_{0}$ を使って定積分し、 $A lo g \frac{[ S ] _{0}}{[ S ]} + B ([S]_{0} - [S]) = V_{m a x} t$ を得る（阻害なしなら $A = K_{M}$ , $B = 1$ ）
「基質の割合 $f$ が変換された」なら $[S] = (1 - f) [S]_{0}$ を代入し、 $t$ について解く

例題

ある酵素反応 $S \to P$ はミカエリス・メンテンの式 $v = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{M} + [ S ]}$ に従い、 $K_{M} = 2.0 mmol L^{- 1}$ 、 $V_{m a x} = 0.50 mmol L^{- 1} mi n^{- 1}$ である。基質の初濃度 $[S]_{0} = 4.0 mmol L^{- 1}$ から反応を始めたとき、基質の 75% が生成物に変換されるまでの時間は何 min か。酵素濃度は一定で、生成物による阻害や逆反応はないものとし、自然対数を含む正確な値で求めよ。

例題の解答

【手順 1】基質の減る速さは $- \frac{d [ S ]}{d t} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{M} + [ S ]}$ 。阻害がないので右辺はすでに $[S]$ だけの式である。

【手順 2】分母は $K_{M} + [S]$ なので $A = K_{M}$ , $B = 1$ 。変数分離すると $(\frac{K _{M}}{[ S ]} + 1) d [S] = - V_{m a x} d t$ 。

【手順 3】 $t = 0$ で $[S] = [S]_{0}$ として積分すると
$K_{M} lo g \frac{[ S ] _{0}}{[ S ]} + ([S]_{0} - [S]) = V_{m a x} t$

【手順 4】75% が変換されたとき $[S] = 0.25 \times 4.0 = 1.0 mmol L^{- 1}$ 。代入すると（濃度の単位は $mmol L^{- 1}$ で統一）
$2.0 lo g \frac{4.0}{1.0} + (4.0 - 1.0) = 0.50 t$
$t = \frac{2 lo g 4 + 3}{0.5} = 4 lo g 4 + 6 = 8 lo g 2 + 6 (min)$
（数値では約 $11.5$ min。）

答え: $6 + 8 lo g 2$

よくある誤り

初速度 $v_{0}$ がずっと続くとみなして $t = \frac{[ S ] _{0} - [ S ]}{v _{0}}$ と計算してしまう誤り。 $[S]$ が減ると速度も落ちるので、正しくは積分形 $K_{M} lo g \frac{[ S ] _{0}}{[ S ]} + ([S]_{0} - [S]) = V_{m a x} t$ を使う
積分のときに $\frac{K _{M} + [ S ]}{[ S ]}$ の「 $+ 1$ 」の部分を落とし、 $K_{M} lo g \frac{[ S ] _{0}}{[ S ]} = V_{m a x} t$ としてしまう誤り。正しくは $[S]_{0} - [S]$ の項も加わる（これを落とすのは $[S] ≪ K_{M}$ の近似にあたる）
対数の中の比を逆にして $K_{M} lo g \frac{[ S ]}{[ S ] _{0}}$ と書き、時間が負になってしまう誤り。 $- \frac{d [ S ]}{d t}$ の負号を正しく扱えば、正しくは $lo g \frac{[ S ] _{0}}{[ S ]} (> 0)$ となる
生成物阻害のときに $[P]$ を定数のまま積分し、 $K_{M} (1 + \frac{[ P ]}{K _{P}}) lo g \frac{[ S ] _{0}}{[ S ]} + \dots$ としてしまう誤り。 $[P]$ は時間とともに増えるので、正しくは積分の前に $[P] = [S]_{0} - [S]$ を代入し、分母を $K_{M} (1 + \frac{[ S ] _{0}}{K _{P}}) + (1 - \frac{K _{M}}{K _{P}}) [S]$ と整理してから積分する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある酵素反応 $S \to P$ の速度は、反応の進行中つねにミカエリス・メンテンの式
$- \frac{d [ S ]}{d t} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{M} + [ S ]}$
に従うとする。ここで $V_{m a x} = 0.50 mmol L^{- 1} mi n^{- 1}$ 、 $K_{M} = 1.0 mmol L^{- 1}$ は定数である。時刻 $t = 0$ で基質濃度は $[S]_{0} = 4.0 mmol L^{- 1}$ 、生成物は存在しない。基質の半分が P に変換される（ $[S] = 2.0 mmol L^{- 1}$ になる）までの時間を、単位を $min$ として、自然対数 $lo g$ を用いた正確な値で求めよ。

酵素反応の積分形

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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