酵素反応の阻害

競合・不競合・混合型阻害で、阻害剤による補正係数 $α = 1 + [I] / K_{I}$ 、 $α^{'} = 1 + [I] / K_{I}^{'}$ を使って $v_{0} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{α K _{M} + α ^{'} [ S ]}$ を書き、阻害定数や必要な阻害剤濃度を求められる

前提

ミカエリス・メンテンの式（大学化学反応速度論）
濃度平衡定数（高校化学化学平衡）

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速度式と速度定数（高校化学反応速度）
定常状態近似（大学化学反応速度論）
ミカエリス・メンテンの式（大学化学反応速度論）
濃度平衡定数（高校化学化学平衡）

説明

酵素反応の速度を下げる物質（阻害剤）I は、遊離の酵素 E に結合するか、酵素・基質複合体 ES に結合するか、その両方かによって、競合阻害・不競合阻害・混合型阻害に分けられます。この技能では、阻害剤の結合の平衡を表す補正係数 $α = 1 + \frac{[ I ]}{K _{I}}$ 、 $α^{'} = 1 + \frac{[ I ]}{K _{I}^{'}}$ を使って、ミカエリス・メンテンの式を $v_{0} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{α K _{M} + α ^{'} [ S ]}$ に拡張します。これを使うと、初速度の測定値から阻害定数を求めたり、速度を目標の値まで下げるのに必要な阻害剤濃度を求めたりできます。薬の効き方の評価や、阻害の型の判定で使います。

なぜそうしてよいのか

機構として、ミカエリス・メンテン機構 $E + S ⇄ ES k_{cat} E + P$ に、阻害剤の結合 $E + I ⇄ EI$ と $ES + I ⇄ ESI$ を加えます。EI と ESI は生成物をつくらず、阻害剤の結合・解離は速く常に平衡にあるとして、その解離定数（阻害定数）を
$K_{I} = \frac{[ E ] [ I ]}{[ EI ]}, K_{I}^{'} = \frac{[ ES ] [ I ]}{[ ESI ]}$
とおきます。すると $[EI] = [E] \frac{[ I ]}{K _{I}}$ 、 $[ESI] = [ES] \frac{[ I ]}{K _{I}^{'}}$ なので、酵素の総量は
$[E]_{0} = [E] + [EI] + [ES] + [ESI] = α [E] + α^{'} [ES]$
と書けます。つまり $α$ は「遊離の E が EI の形で何倍に水増しされているか」、 $α^{'}$ は「ES が ESI の形で何倍に水増しされているか」を表します。ここで $[I]$ は遊離の阻害剤の濃度ですが、阻害剤が酵素より十分多ければ加えた濃度とみなせます。

ES に定常状態近似を使うと、阻害がない場合と同じく $k_{1} [E] [S] = (k_{- 1} + k_{cat}) [ES]$ 、つまり $[E] = \frac{K _{M} [ ES ]}{[ S ]}$ です（EI・ESI の出入りは平衡でつり合っているので ES の収支に影響しません）。これを上の式に代入すると $[E]_{0} = [ES] (\frac{α K _{M}}{[ S ]} + α^{'})$ となり、
$v_{0} = k_{cat} [ES] = \frac{V _{m a x} [ S ]}{α K _{M} + α ^{'} [ S ]}$
が得られます。I が E にだけ結合する競合阻害では $α^{'} = 1$ （ $K_{I}^{'} \to \infty$ ）で、 $K_{M}$ だけが見かけ上 $α$ 倍になり、 $[S]$ を十分大きくすれば $V_{m a x}$ に届きます。I が ES にだけ結合する不競合阻害では $α = 1$ で、分母分子を $α^{'}$ で割ると見かけの $V_{m a x}$ と $K_{M}$ がともに $\frac{1}{α ^{'}}$ 倍になります。両方に結合するのが混合型阻害です。

手順

阻害の型を確認し、補正係数を決める：競合なら $α = 1 + \frac{[ I ]}{K _{I}}$ 、 $α^{'} = 1$ ／不競合なら $α = 1$ 、 $α^{'} = 1 + \frac{[ I ]}{K _{I}^{'}}$ ／混合型なら両方
阻害剤があるときの初速度の式 $v_{0} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{α K _{M} + α ^{'} [ S ]}$ を書く
問題の条件（目標の速度、阻害なしとの比、測定値など）を式に入れ、未知の $α$ または $α^{'}$ について解く
補正係数の定義から阻害定数 $K_{I} = \frac{[ I ]}{α - 1}$ や、必要な阻害剤濃度 $[I] = (α - 1) K_{I}$ を求める（ $α^{'}$ も同様）

例題

ある酵素のミカエリス定数は $K_{M} = 0.50 mmol L^{- 1}$ である。この酵素の競合阻害剤 I の阻害定数は $K_{I} = 10 μ mol L^{- 1}$ である。基質濃度 $[S] = 0.50 mmol L^{- 1}$ で、初速度を阻害剤がないときの半分にするのに必要な阻害剤濃度 $[I]$ を $μ mol L^{- 1}$ 単位で求めよ。ただし、阻害剤は酵素より十分多く、遊離の阻害剤濃度は加えた濃度に等しいとし、与えられた数値は正確な値とみなす。

例題の解答

【手順 1：補正係数】競合阻害なので $α^{'} = 1$ 、 $α = 1 + \frac{[ I ]}{K _{I}}$ 。

【手順 2：初速度の式】阻害剤なし： $v_{0} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{M} + [ S ]} = \frac{V _{m a x} \times 0.50}{0.50 + 0.50} = \frac{V _{m a x}}{2}$ 。
阻害剤あり： $v_{i} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{α K _{M} + [ S ]}$ 。

【手順 3： $α$ を求める】 $v_{i} = \frac{1}{2} \cdot \frac{V _{m a x}}{2} = \frac{V _{m a x}}{4}$ とすると
$\frac{0.50}{0.50 α + 0.50} = \frac{1}{4} ⟹ 0.50 α + 0.50 = 2.0 ⟹ α = 3$

【手順 4：阻害剤濃度】 $α = 1 + \frac{[ I ]}{K _{I}} = 3$ より $[I] = 2 K_{I} = 2 \times 10 = 20 μ mol L^{- 1}$ 。

答え: $20$

よくある誤り

速度を半分にするには $α = 2$ （ $[I] = K_{I}$ ）でよいとしてしまう誤り。競合阻害で $α$ 倍になるのは $K_{M}$ の項だけなので、速度は $\frac{1}{α}$ 倍にはならない。例題では $\frac{K _{M} + [ S ]}{α K _{M} + [ S ]} = \frac{1}{2}$ を解いて $α = 3$
競合阻害でも最大速度が下がるとして $v_{0} = \frac{( V _{m a x} / α ) [ S ]}{K _{M} + [ S ]}$ と書いてしまう誤り。競合阻害剤は ES に結合しないので $α^{'} = 1$ で、正しくは $v_{0} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{α K _{M} + [ S ]}$ 。 $[S]$ を十分大きくすれば $V_{m a x}$ に近づく
不競合阻害で見かけの $K_{M}$ が大きくなるとしてしまう誤り。 $v_{0} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{M} + α ^{'} [ S ]} = \frac{( V _{m a x} / α ^{'} ) [ S ]}{K _{M} / α ^{'} + [ S ]}$ なので、見かけの $V_{m a x}$ と $K_{M}$ はともに $\frac{1}{α ^{'}}$ 倍に小さくなる
阻害定数を結合定数と取り違え、 $α = 1 + K_{I} [I]$ としてしまう誤り。 $K_{I} = \frac{[ E ] [ I ]}{[ EI ]}$ は解離定数なので、正しくは $α = 1 + \frac{[ I ]}{K _{I}}$ 。 $K_{I}$ が小さいほど強い阻害剤である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある酵素反応はミカエリス・メンテンの式に従い、最大速度は $V_{m a x} = 120 μ mol L^{- 1} s^{- 1}$ 、ミカエリス定数は $K_{M} = 2.0 mmol L^{- 1}$ である。この反応液に、遊離の酵素 E にだけ結合する競合阻害剤 I を濃度 $[I] = 6.0 μ mol L^{- 1}$ で加えた。E と I の解離定数（阻害定数）は $K_{I} = 2.0 μ mol L^{- 1}$ である。基質濃度が $[S] = 2.0 mmol L^{- 1}$ のときの初速度 $v_{0}$ を、単位を $μ mol L^{- 1} s^{- 1}$ として、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、ES に定常状態近似が成り立ち、E と I の結合は速い平衡にあり、 $[S]$ と $[I]$ は加えた濃度のままとみなせるものとする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

酵素反応の積分形（大学化学反応速度論）