反応速度論の問題

ある酵素 E による反応が、次の機構で進むとする。

$$\mathrm{E}+\mathrm{S}\rightleftarrows \mathrm{ES}\to \mathrm{E}+\mathrm{P}$$

酵素の全濃度は $[\mathrm{E}{]}_0=2.0\mu \mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$、触媒定数は $k_{\mathrm{cat}}=50{\mathrm{s}}^{-1}$、ミカエリス定数は $K_{\mathrm{M}}=3.0\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$ である。基質の濃度が $[\mathrm{S}]=1.0\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$ のときの初速度 $v_0$ を、単位を $\mu \mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ として、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、ES には定常状態近似が成り立ち、基質の濃度は酵素の濃度より十分大きく、初期には $[\mathrm{S}]$ は与えられた値のままとみなせるものとする。

ある酵素反応 $\mathrm{S}\to \mathrm{P}$ の速度は、反応の進行中つねにミカエリス・メンテンの式
$$-\frac{d[\mathrm{S}]}{dt}=\frac{V_{\max }[\mathrm{S}]}{K_{\mathrm{M}}+[\mathrm{S}]}$$
に従うとする。ここで $V_{\max }=0.50\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$、$K_{\mathrm{M}}=1.0\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$ は定数である。時刻 $t=0$ で基質濃度は $[\mathrm{S}{]}_0=4.0\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$、生成物は存在しない。基質の半分が P に変換される（$[\mathrm{S}]=2.0\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$ になる）までの時間を、単位を $\min$ として、自然対数 $\log$ を用いた正確な値で求めよ。

ある温度で、反応 $\mathrm{A}+\mathrm{B}\to \mathrm{P}$ が次の 2 段階の機構で進むとする。

$$\mathrm{A}+\mathrm{B}\rightleftarrows \mathrm{I}(\text{速い平衡、平衡定数 }K=2.5\times 10^2\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1})$$

$$\mathrm{I}\to \mathrm{P}(\text{遅い段階、速度定数 }{k}_2=4.0\times 10^{-2}{\mathrm{s}}^{-1})$$

第 1 段階は速く、反応中つねに平衡が保たれている（前駆平衡近似が成り立つ）とする。このとき、P の生成速度は $v=\frac{d[\mathrm{P}]}{dt}=k_{\mathrm{app}}[\mathrm{A}][\mathrm{B}]$ と書ける。見かけの速度定数 $k_{\mathrm{app}}$ の値を、単位を $\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ として、有効数字 2 桁で求めよ。

一定温度で、物質 $\mathrm{A}$ の分解反応は速度式
$$-\frac{d[\mathrm{A}]}{dt}=k[\mathrm{A}{]}^2$$
にしたがう 2 次反応であり、速度定数は $k=0.040\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ である。$\mathrm{A}$ の初濃度が $[\mathrm{A}{]}_0=0.50\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ のとき、$[\mathrm{A}]$ が $0.20\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ になるのは反応開始から何秒後か。有効数字 2 桁で求めよ。

一定温度で、反応 $\mathrm{A}+\mathrm{B}\to \mathrm{P}$ が次の 2 段階の素反応で進むとする（$\mathrm{I}$ は反応中間体）。
$$\mathrm{A}\underset{k_{-1}}{\stackrel{k_1}{\rightleftharpoons }}\mathrm{I}\mathrm{I}+\mathrm{B}\stackrel{k_2}{\to }\mathrm{P}$$
速度定数は $k_1=3.0\times 10^{-2}{\mathrm{s}}^{-1}$、$k_{-1}=4.0\times 10^2{\mathrm{s}}^{-1}$、$k_2=1.0\times 10^4\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ である。$\mathrm{B}$ は大過剰にあり、その濃度は $[\mathrm{B}]=1.0\times 10^{-2}\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ で一定とみなせる。

中間体 $\mathrm{I}$ に定常状態近似を適用すると、$\mathrm{P}$ の生成速度は $\frac{d[\mathrm{P}]}{dt}=k_{\mathrm{app}}[\mathrm{A}]$ と表される。見かけの速度定数 $k_{\mathrm{app}}$ は何 ${\mathrm{s}}^{-1}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。