ミカエリス・メンテンの式

ES に定常状態近似を適用して $v_{0} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{M} + [ S ]}$ （ $V_{m a x} = k_{cat} [E]_{0}$ ）を導き、2 点の測定値や逆数プロットから $V_{m a x}$ と $K_{M}$ を決定できる

前提

定常状態近似（大学化学反応速度論）

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定常状態近似（大学化学反応速度論）

説明

酵素 E が基質 S と結合して複合体 ES をつくり、ES から生成物 P ができて酵素が元に戻る反応では、基質濃度を上げても反応速度は頭打ちになります。この振る舞いを表すのがミカエリス・メンテンの式 $v_{0} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{M} + [ S ]}$ です。この技能では、中間体 ES に定常状態近似を使ってこの式を導き、異なる基質濃度で測った初速度から最大速度 $V_{m a x}$ とミカエリス定数 $K_{M}$ を求めます。酵素の性能比較や、阻害剤・薬物の評価で基本となる計算です。

なぜそうしてよいのか

機構を $E + S k_{- 1} ⇄ k_{1} ES k_{cat} E + P$ とします。酵素は遊離の E か複合体 ES のどちらかにあるので $[E] = [E]_{0} - [ES]$ （ $[E]_{0}$ は加えた酵素の全濃度）です。また反応のはじめ（初速度 $v_{0}$ を測る時間）では P はほとんどなく逆反応を無視でき、基質は酵素よりずっと多い（ $[S] ≫ [E]_{0}$ ）ので $[S]$ は加えた基質濃度のままとみなせます。

ES に定常状態近似を適用すると
$\frac{d [ ES ]}{d t} = k_{1} ([E]_{0} - [ES]) [S] - (k_{- 1} + k_{cat}) [ES] = 0$
です。 $K_{M} = \frac{k _{- 1} + k _{cat}}{k _{1}}$ とおいて $[ES]$ について解くと $[ES] = \frac{[ E ] _{0} [ S ]}{K _{M} + [ S ]}$ となり、生成物のできる速さは
$v_{0} = k_{cat} [ES] = \frac{k _{cat} [ E ] _{0} [ S ]}{K _{M} + [ S ]} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{M} + [ S ]}, V_{m a x} = k_{cat} [E]_{0}$
です。 $[S] ≫ K_{M}$ ではほぼすべての酵素が ES になって $v_{0} \to V_{m a x}$ （頭打ち）、 $[S] ≪ K_{M}$ では $v_{0} \approx \frac{V _{m a x}}{K _{M}} [S]$ と基質に 1 次です。 $[S] = K_{M}$ のとき $v_{0} = \frac{V _{m a x}}{2}$ なので、 $K_{M}$ は「最大速度の半分を与える基質濃度」と読めます。

未知数は $V_{m a x}$ と $K_{M}$ の 2 つなので、2 つの基質濃度での初速度があれば決まります。式の両辺の逆数をとると
$\frac{1}{v _{0}} = \frac{K _{M}}{V _{m a x}} \cdot \frac{1}{[ S ]} + \frac{1}{V _{m a x}}$
と $\frac{1}{[ S ]}$ の 1 次式になります。横軸に $\frac{1}{[ S ]}$ 、縦軸に $\frac{1}{v _{0}}$ をとった逆数プロット（ラインウィーバー・バークプロット）は直線になり、縦軸切片が $\frac{1}{V _{m a x}}$ 、傾きが $\frac{K _{M}}{V _{m a x}}$ です。

手順

各測定点について $\frac{1}{[ S ]}$ と $\frac{1}{v _{0}}$ を計算する
直線 $\frac{1}{v _{0}} = a \cdot \frac{1}{[ S ]} + b$ の傾き $a$ と切片 $b$ を求める（2 点なら連立方程式、多数の点なら直線を当てはめる）
切片から最大速度を求める： $V_{m a x} = \frac{1}{b}$
傾きからミカエリス定数を求める： $K_{M} = a V_{m a x} = \frac{a}{b}$
必要なら $k_{cat} = \frac{V _{m a x}}{[ E ] _{0}}$ や、任意の $[S]$ での $v_{0} = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{M} + [ S ]}$ を計算し、元のデータを再現するか確かめる

例題

ミカエリス・メンテンの式に従う酵素反応で、酵素濃度を一定にして初速度 $v_{0}$ を測定したところ、基質濃度 $[S] = 1.0 mmol L^{- 1}$ のとき $v_{0} = 2.0 μ mol L^{- 1} s^{- 1}$ 、 $[S] = 4.0 mmol L^{- 1}$ のとき $v_{0} = 4.0 μ mol L^{- 1} s^{- 1}$ であった。最大速度 $V_{m a x}$ [ $μ mol L^{- 1} s^{- 1}$ ] とミカエリス定数 $K_{M}$ [ $mmol L^{- 1}$ ] を、この順に求めよ。ただし与えられた数値は正確な値とみなす。

例題の解答

【手順 1：逆数を計算】 $[S]$ を mmol/L、 $v_{0}$ を μmol/(L·s) の数値で扱う。
1 点目： $\frac{1}{[ S ]} = 1$ 、 $\frac{1}{v _{0}} = \frac{1}{2}$ 。2 点目： $\frac{1}{[ S ]} = \frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{v _{0}} = \frac{1}{4}$ 。

【手順 2：傾きと切片】 $\frac{1}{v _{0}} = a \cdot \frac{1}{[ S ]} + b$ に代入して
$a + b = \frac{1}{2}, \frac{a}{4} + b = \frac{1}{4}$
辺々引くと $\frac{3}{4} a = \frac{1}{4}$ より $a = \frac{1}{3}$ 、 $b = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ 。

【手順 3： $V_{m a x}$ 】 $V_{m a x} = \frac{1}{b} = 6 μ mol L^{- 1} s^{- 1}$ 。

【手順 4： $K_{M}$ 】 $K_{M} = \frac{a}{b} = \frac{1/3}{1/6} = 2 mmol L^{- 1}$ 。

【手順 5：確かめ】 $[S] = 1$ ： $\frac{6 \times 1}{2 + 1} = 2$ 、 $[S] = 4$ ： $\frac{6 \times 4}{2 + 4} = 4$ で、測定値を再現する。

答え: $(6, 2)$

よくある誤り

測定した最大の初速度（例題では $4.0$ ）を $V_{m a x}$ としてしまう誤り。 $v_{0}$ は $[S]$ を増やしても $V_{m a x}$ に近づくだけで達しないので、正しくは $\frac{1}{v _{0}}$ 対 $\frac{1}{[ S ]}$ の切片から $V_{m a x} = \frac{1}{b} = 6$ と求める
逆数プロットの傾きをそのまま $K_{M}$ としてしまう誤り。傾きは $\frac{K _{M}}{V _{m a x}}$ なので、正しくは $K_{M} = (傾き) \times V_{m a x} = \frac{1}{3} \times 6 = 2$
$K_{M}$ を ES の解離平衡定数 $\frac{k _{- 1}}{k _{1}}$ と同じものとしてしまう誤り。定常状態近似で得られるのは $K_{M} = \frac{k _{- 1} + k _{cat}}{k _{1}}$ であり、 $\frac{k _{- 1}}{k _{1}}$ と一致するのは $k_{cat} ≪ k_{- 1}$ のときだけ
遊離の酵素濃度 $[E]$ を加えた全酵素濃度 $[E]_{0}$ のままとして $[ES] = \frac{k _{1} [ E ] _{0} [ S ]}{k _{- 1} + k _{cat}}$ としてしまう誤り。これでは頭打ちにならない。正しくは $[E] = [E]_{0} - [ES]$ を代入して $[ES] = \frac{[ E ] _{0} [ S ]}{K _{M} + [ S ]}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある酵素 E による反応が、次の機構で進むとする。
$E + S ⇄ ES \to E + P$
酵素の全濃度は $[E]_{0} = 2.0 μ mol L^{- 1}$ 、触媒定数は $k_{cat} = 50 s^{- 1}$ 、ミカエリス定数は $K_{M} = 3.0 mmol L^{- 1}$ である。基質の濃度が $[S] = 1.0 mmol L^{- 1}$ のときの初速度 $v_{0}$ を、単位を $μ mol L^{- 1} s^{- 1}$ として、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、ES には定常状態近似が成り立ち、基質の濃度は酵素の濃度より十分大きく、初期には $[S]$ は与えられた値のままとみなせるものとする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

酵素反応の阻害（大学化学反応速度論）