反応速度論の問題

ある酵素反応はミカエリス・メンテンの式に従い、最大速度は $V_{\max }=120\mu \mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$、ミカエリス定数は $K_{\mathrm{M}}=2.0\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$ である。この反応液に、遊離の酵素 E にだけ結合する競合阻害剤 I を濃度 $[\mathrm{I}]=6.0\mu \mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ で加えた。E と I の解離定数（阻害定数）は $K_{\mathrm{I}}=2.0\mu \mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ である。基質濃度が $[\mathrm{S}]=2.0\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$ のときの初速度 $v_0$ を、単位を $\mu \mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ として、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、ES に定常状態近似が成り立ち、E と I の結合は速い平衡にあり、$[\mathrm{S}]$ と $[\mathrm{I}]$ は加えた濃度のままとみなせるものとする。

ある温度で、反応 $\mathrm{A}+\mathrm{B}\to \mathrm{P}$ が次の 2 段階の機構で進むとする。

$$\mathrm{A}+\mathrm{B}\rightleftarrows \mathrm{I}(\text{速い平衡、平衡定数 }K=2.5\times 10^2\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1})$$

$$\mathrm{I}\to \mathrm{P}(\text{遅い段階、速度定数 }{k}_2=4.0\times 10^{-2}{\mathrm{s}}^{-1})$$

第 1 段階は速く、反応中つねに平衡が保たれている（前駆平衡近似が成り立つ）とする。このとき、P の生成速度は $v=\frac{d[\mathrm{P}]}{dt}=k_{\mathrm{app}}[\mathrm{A}][\mathrm{B}]$ と書ける。見かけの速度定数 $k_{\mathrm{app}}$ の値を、単位を $\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ として、有効数字 2 桁で求めよ。

一定温度で、反応 $\mathrm{A}+\mathrm{B}\to \mathrm{P}$ が次の 2 段階の素反応で進むとする（$\mathrm{I}$ は反応中間体）。
$$\mathrm{A}\underset{k_{-1}}{\stackrel{k_1}{\rightleftharpoons }}\mathrm{I}\mathrm{I}+\mathrm{B}\stackrel{k_2}{\to }\mathrm{P}$$
速度定数は $k_1=3.0\times 10^{-2}{\mathrm{s}}^{-1}$、$k_{-1}=4.0\times 10^2{\mathrm{s}}^{-1}$、$k_2=1.0\times 10^4\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ である。$\mathrm{B}$ は大過剰にあり、その濃度は $[\mathrm{B}]=1.0\times 10^{-2}\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ で一定とみなせる。

中間体 $\mathrm{I}$ に定常状態近似を適用すると、$\mathrm{P}$ の生成速度は $\frac{d[\mathrm{P}]}{dt}=k_{\mathrm{app}}[\mathrm{A}]$ と表される。見かけの速度定数 $k_{\mathrm{app}}$ は何 ${\mathrm{s}}^{-1}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

反応 $\mathrm{A}+\mathrm{B}\to \mathrm{P}$ が、速い前駆平衡のあとに遅い段階が続く次の機構で進む。

$$\mathrm{A}+\mathrm{B}\underset{k_{-1}}{\stackrel{k_1}{\rightleftarrows }}\mathrm{I}(\text{速い平衡}),\mathrm{I}\stackrel{k_2}{\to }\mathrm{P}(\text{遅い段階})$$

前駆平衡近似により、全体の速度は $v=k_{\mathrm{app}}[\mathrm{A}][\mathrm{B}]$、$k_{\mathrm{app}}=\frac{k_1{k}_2}{k_{-1}}$ と表される。各素反応の速度定数はアレニウスの式 $k_i=A_i{e}^{-E_{a,i}/RT}$（$A_i$, $E_{a,i}$ は温度によらない定数）に従い、活性化エネルギーは $E_{a,1}=40\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$、$E_{a,-1}=55\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$、$E_{a,2}=60\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ である。見かけの活性化エネルギー $E_{\mathrm{a},\mathrm{app}}=R{T}^2\frac{d\log k_{\mathrm{app}}}{dT}$ を、単位を $\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ として求めよ。ただし $R$ は気体定数、$T$ は絶対温度とする。

一定温度・一定体積の水溶液中で、酵素 E が基質 S を生成物 P に変える不可逆反応
$$\mathrm{E}+\mathrm{S}\rightleftarrows \mathrm{ES}⟶\mathrm{E}+\mathrm{P}$$
を触媒する。生成物 P は E に結合して EP をつくる競合阻害剤としてはたらき、$\mathrm{E}+\mathrm{P}\rightleftarrows \mathrm{EP}$ の解離定数は $K_{\mathrm{P}}=1.0\mathrm{mM}$ である（EP は反応しない）。この酵素の S に対するミカエリス定数は $K_{\mathrm{M}}=2.0\mathrm{mM}$、触媒定数は $k_{\mathrm{cat}}=25{\mathrm{s}}^{-1}$ である。

酵素の全濃度 $[\mathrm{E}{]}_0=0.20\mu \mathrm{M}$、基質の初濃度 $[\mathrm{S}{]}_0=5.0\mathrm{mM}$、生成物の初濃度 $0$ で反応を開始した。反応の全過程で定常状態近似が成り立ち、P の結合平衡は常に成り立っているとする。また $[\mathrm{E}{]}_0$ は $[\mathrm{S}{]}_0$ に比べて十分小さいので、ES・EP として存在する S・P の量は無視でき、$[\mathrm{P}]=[\mathrm{S}{]}_0-[\mathrm{S}]$ とみなせる。酵素は反応中に失活しないものとする。

基質の $80\%$ が P に変換されるまでの時間は何分か。有効数字 3 桁で求めよ。必要なら $\log 5=1.6094$ を用いよ。