数値解析の問題

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=ty,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=ty$ とおく。$t_0=0$, $y_0=1$, 刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、古典的な 4 次のルンゲ・クッタ法
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),\\ k_3& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_2\right),\\ k_4& =f\left(t_0+h,y_0+h{k}_3\right),\\ y_1& =y_0+\frac{h}{6}\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right)\end{array}$$
を 1 ステップ適用したときの近似値 $y_1$ を、既約分数で求めよ。

初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=t+y,y(0)=1$$
に対し、刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として古典的な 4 次のルンゲ・クッタ法
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),\\ k_3& =f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_2\right),\\ k_4& =f\left(t_0+h,y_0+h{k}_3\right),\\ y_1& =y_0+\frac{h}{6}\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right)\end{array}$$
を 1 ステップだけ適用する。ここで $f(t,y)=t+y$、$t_0=0$、$y_0=1$ である。$y(1/2)$ の近似値 $y_1$ を分数で求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=ty+1,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=ty+1$ とおく。$t_0=0$, $y_0=1$、刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、ホイン法（改良オイラー法）
$$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_0,y_0),\\ k_2& =f(t_0+h,y_0+h{k}_1),\\ y_1& =y_0+\frac{h}{2}(k_1+k_2)\end{array}$$
を 1 ステップ適用したときの近似値 $y_1$ を、分数で求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題 $$\frac{dy}{dt}=y-t^2,y(0)=1$$ を考え、$f(t,y)=y-t^2$ とおく。刻み幅 $h=\frac{1}{2}$ として、中点法（2 次のルンゲ・クッタ法の一つ） $$k_1=f(t_0,y_0),k_2=f\left(t_0+\frac{h}{2},y_0+\frac{h}{2}{k}_1\right),y_1=y_0+h{k}_2$$ を $t_0=0$, $y_0=1$ から 1 ステップだけ適用したときの近似値 $y_1$ を、分数で厳密に求めよ。

実数 $t$ の関数 $y(t)$ に対する初期値問題
$$\frac{dy}{dt}=t+y^2,y(0)=1$$
を考え、$f(t,y)=t+y^2$ とおく。この初期値問題の厳密解 $y(t)$ は $t=0$ の近くで存在し、何回でも微分可能であるとする。刻み幅を $h>0$ として、オイラー法
$$y_1=y_0+hf(t_0,y_0),t_0=0,y_0=1$$
で 1 ステップ進めた近似値を $y_1$ とする。局所誤差が
$$y(h)-y_1=C{h}^p+O(h^{p+1})(C\ne 0)$$
と表されるとき、正の整数 $p$ と実数の定数 $C$ を、組 $(p,C)$ の形で求めよ。