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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

関数 $f (x) = x^{3} - 2 x$ について、区間 $- 1 ≦ x ≦ 2$ で平均値の定理を考える。
$\frac{f ( 2 ) - f ( - 1 )}{2 - ( - 1 )} = f^{'} (c), - 1 < c < 2$
を満たす実数 $c$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

平均値の定理（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（31 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

平均値の定理を使う。区間の両端での値から平均変化率 $\frac{f ( 2 ) - f ( - 1 )}{2 - ( - 1 )}$ を求め、それが $f^{'} (c)$ と等しくなる $c$ を探す。

ヒント 2

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ なので、方程式 $3 c^{2} - 2 = \frac{f ( 2 ) - f ( - 1 )}{3}$ を解けばよい。

ヒント 3

$f (2) = 4$ , $f (- 1) = 1$ より平均変化率は $1$ 。 $3 c^{2} - 2 = 1$ から $c^{2} = 1$ となる。あとは $- 1 < c < 2$ を満たすものを選ぶ。

答えと解説

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1

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解説を読む

平均値の定理は次の内容である。関数 $f (x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能ならば、
$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = f^{'} (c), a < c < b$
を満たす実数 $c$ が存在する。

$f (x) = x^{3} - 2 x$ は多項式なので、すべての実数で連続かつ微分可能である。したがって、区間 $[- 1, 2]$ で平均値の定理が使える。

手順1：平均変化率を計算する。
$f (2) = 8 - 4 = 4, f (- 1) = - 1 + 2 = 1$
より
$\frac{f ( 2 ) - f ( - 1 )}{2 - ( - 1 )} = \frac{4 - 1}{3} = 1$

手順2：導関数を求める。
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$

手順3： $f^{'} (c)$ が平均変化率と等しくなる $c$ を求める。
$3 c^{2} - 2 = 1$
$c^{2} = 1$
$c = \pm 1$

手順4：条件 $- 1 < c < 2$ を確かめる。
$c = - 1$ は区間の端点であり、 $- 1 < c$ を満たさない。 $c = 1$ は $- 1 < 1 < 2$ を満たす。

よって $c = 1$ である。

別解

$f (2) = 8 - 4 = 4$ 、 $f (- 1) = - 1 + 2 = 1$ より、 $\frac{f ( 2 ) - f ( - 1 )}{2 - ( - 1 )} = \frac{4 - 1}{3} = 1$ 。
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ なので、 $f^{'} (c) = 3 c^{2} - 2 = 1$ より $c^{2} = 1$ 、すなわち $c = \pm 1$ 。
$- 1 < c < 2$ を満たすのは $c = 1$ のみ（ $c = - 1$ は区間の端で不適）。
検算: $f^{'} (1) = 3 - 2 = 1$ で平均変化率 1 と一致する。

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