微分法の問題

使う公式（商の微分）

$u(x)$, $v(x)$ が微分可能で $v(x)\ne 0$ のとき
$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$
が成り立ちます。

手順1：分子と分母を決めて、それぞれ微分する

$u=3x-1$, $v=x^2+1$ とおきます。どの実数 $x$ に対しても $v=x^2+1\geqq 1>0$ なので、公式が使えます。多項式の微分より
$$u^{\prime }=3,v^{\prime }=2x$$
です。

手順2：公式に代入する
$$f^{\prime }(x)=\frac{3\cdot (x^2+1)-(3x-1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$$

手順3：分子を整理する
$$3(x^2+1)-(3x-1)\cdot 2x=3x^2+3-6x^2+2x=-3x^2+2x+3$$
よって
$$f^{\prime }(x)=\frac{-3x^2+2x+3}{(x^2+1{)}^2}$$

手順4：$x=2$ を代入する

分子は $-3\cdot 4+2\cdot 2+3=-12+4+3=-5$、分母は $(4+1{)}^2=25$ です。したがって
$$f^{\prime }(2)=\frac{-5}{25}=-\frac{1}{5}$$

商の微分法より $f^{\prime }(x)=\frac{3(x^2+1)-(3x-1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{3x^2+3-6x^2+2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-3x^2+2x+3}{(x^2+1{)}^2}$。$x=2$ を代入すると、分子は $-12+4+3=-5$、分母は $(4+1{)}^2=25$ なので $f^{\prime }(2)=-\frac{5}{25}=-\frac{1}{5}$。検算：$f(x)$ の $x=2$ 付近で、$f(2)=5/5=1$、$f(2.01)=(6.03-1)/(4.0401+1)=5.03/5.0401\approx 0.99800$ なので差は約 $-0.0020$、傾きは約 $-0.2$ で一致する。