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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

$x \neq = 1$ で定義された関数 $f (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x - 1}$ の導関数 $f^{'} (x)$ を求めよ。

この問題で使うもの

積と商の微分（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（18 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

分数の形の関数なので、「商の微分」の公式 $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ を使います。

ヒント 2

分子を $u (x) = x^{2} + 3$ 、分母を $v (x) = x - 1$ とおくと、 $u^{'} (x) = 2 x$ 、 $v^{'} (x) = 1$ です。

ヒント 3

公式に代入すると $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - ( x ^{2} + 3 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ となります。あとは分子を展開して整理しましょう。

答えと解説

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\frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x - 1 ) ^{2}}

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解説を読む

商の微分の公式
${\frac{u ( x )}{v ( x )}}^{'} = \frac{u ^{'} ( x ) v ( x ) - u ( x ) v ^{'} ( x )}{{ v ( x ) } ^{2}}$
を使う。

分子を $u (x) = x^{2} + 3$ 、分母を $v (x) = x - 1$ とおく。多項式の微分により
$u^{'} (x) = 2 x, v^{'} (x) = 1$
である。

これらを公式に代入すると
$f^{'} (x) = \frac{2 x \cdot ( x - 1 ) - ( x ^{2} + 3 ) \cdot 1}{( x - 1 ) ^{2}}$
となる。

分子を整理すると
$2 x (x - 1) - (x^{2} + 3) = 2 x^{2} - 2 x - x^{2} - 3 = x^{2} - 2 x - 3$
である。

よって
$f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x - 1 ) ^{2}}$
である。

別解

商の微分法より、 $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - ( x ^{2} + 3 ) \cdot 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - 2 x - x ^{2} - 3}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x - 1 ) ^{2}}$ 。分子は $(x - 3) (x + 1)$ と因数分解できる。
検算： $f (x) = x + 1 + \frac{4}{x - 1}$ と変形できるので、 $f^{'} (x) = 1 - \frac{4}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ^{2} - 4}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x - 1 ) ^{2}}$ となり一致する。また $x = 2$ で $f^{'} (2) = (4 - 4 - 3) /1 = - 3$ 。直接 $f (x) = x + 1 + 4/ (x - 1)$ の微分は $1 - 4 = - 3$ で一致する。

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