微分法の問題

まず $f^{\prime }(x)$ を求める。商の微分法と合成関数の微分法により
$$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \sqrt{x^2+1}-x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{(x^2+1{)}^{\frac{3}{2}}}$$
である。

合成関数の微分法より
$$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)$$
なので、$h^{\prime }(2)=f^{\prime }(f(2))\cdot f^{\prime }(2)$ である。

$f(2)=\frac{2}{\sqrt{5}}$ であり、
$$f^{\prime }(2)=\frac{1}{5^{\frac{3}{2}}}$$
である。また、${\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2+1=\frac{4}{5}+1=\frac{9}{5}$ より
$$f^{\prime }\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\frac{1}{{\left(\frac{9}{5}\right)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{5^{\frac{3}{2}}}{9^{\frac{3}{2}}}=\frac{5^{\frac{3}{2}}}{27}$$
である。したがって
$$h^{\prime }(2)=\frac{5^{\frac{3}{2}}}{27}\cdot \frac{1}{5^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{27}$$

（別解）$f(f(x))$ を直接計算すると、$\{f(x){\}}^2+1=\frac{x^2}{x^2+1}+1=\frac{2x^2+1}{x^2+1}$ より
$$h(x)=\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{\sqrt{\frac{2x^2+1}{x^2+1}}}=\frac{x}{\sqrt{2x^2+1}}$$
となる。これを上と同様に微分すると $h^{\prime }(x)=\frac{1}{(2x^2+1{)}^{\frac{3}{2}}}$ となり、$h^{\prime }(2)=\frac{1}{9^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{27}$ となって一致する。

$f(x)=x(x^2+1{)}^{-1/2}$ より $f^{\prime }(x)=(x^2+1{)}^{-1/2}-x^2(x^2+1{)}^{-3/2}=(x^2+1{)}^{-3/2}\{(x^2+1)-x^2\}=(x^2+1{)}^{-3/2}$。合成関数の微分より $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x)$。$x=2$ のとき $f(2)=\frac{2}{\sqrt{5}}$、$f(2{)}^2+1=\frac{4}{5}+1=\frac{9}{5}$。よって $f^{\prime }(f(2))={\left(\frac{9}{5}\right)}^{-3/2}={\left(\frac{5}{9}\right)}^{3/2}=\frac{5\sqrt{5}}{27}$。また $f^{\prime }(2)=5^{-3/2}=\frac{1}{5\sqrt{5}}$。したがって $h^{\prime }(2)=\frac{5\sqrt{5}}{27}\cdot \frac{1}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{27}$。検算: $f(f(x))=\frac{x}{\sqrt{2x^2+1}}$ なので $h^{\prime }(x)=(2x^2+1{)}^{-3/2}$。$x=2$ で $9^{-3/2}=\frac{1}{27}$。一致する。