微分法の問題

$x>0$ のとき $f(x)=x^{\sin x}>0$ であるから、両辺の自然対数をとると
$$\log f(x)=\sin x\cdot \log x$$
となる。両辺を $x$ で微分すると、左辺は合成関数の微分法により $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$、右辺は積の微分法により $\cos x\cdot \log x+\sin x\cdot \frac{1}{x}$ となるので
$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}$$
である。よって
$$f^{\prime }(x)=x^{\sin x}\left(\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}\right)$$

$x=\frac{\pi }{2}$ のとき、$\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\cos \frac{\pi }{2}=0$ であるから
$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^1=\frac{\pi }{2}$$
$$\cos \frac{\pi }{2}\log \frac{\pi }{2}+\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{\frac{\pi }{2}}=0+\frac{2}{\pi }=\frac{2}{\pi }$$
したがって
$$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{2}{\pi }=1$$

$x>0$ で $f(x)=x^{\sin x}>0$ なので両辺の自然対数をとり $\log f(x)=\sin x\cdot \log x$。両辺を微分して $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}$。よって $f^{\prime }(x)=x^{\sin x}\left(\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}\right)$。$x=\frac{\pi }{2}$ では $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}$、$\cos \frac{\pi }{2}=0$、$\sin \frac{\pi }{2}=1$ なので $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}\left(0+\frac{1}{\pi /2}\right)=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{2}{\pi }=1$。検算: $f(x)=e^{\sin x\log x}$ と見て微分しても同じ式になり、値は 1 である。