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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

実数全体で定義された関数 $f (x) = (x^{2} + x - 1)^{5}$ について、 $f^{'} (1)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

合成関数の微分（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

合成関数の微分（連鎖律）を使います。 $(x^{2} + x - 1)^{5}$ を展開する必要はありません。

ヒント 2

$u = x^{2} + x - 1$ とおくと $f (x) = u^{5}$ です。 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ を使いましょう。

ヒント 3

$f^{'} (x) = 5 (x^{2} + x - 1)^{4} (2 x + 1)$ となります。ここに $x = 1$ を代入します。

答えと解説

答えを見る

15

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解説を読む

合成関数の微分を使います。

手順1：内側の関数と外側の関数に分ける

$u = x^{2} + x - 1$ とおくと、 $f (x) = u^{5}$ と表せます。外側の関数は $y = u^{5}$ 、内側の関数は $u = x^{2} + x - 1$ です。

手順2：それぞれを微分する

$\frac{d y}{d u} = 5 u^{4}, \frac{d u}{d x} = 2 x + 1$

手順3：連鎖律でかけ合わせる

合成関数の微分の公式 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ より、
$f^{'} (x) = 5 u^{4} \cdot (2 x + 1) = 5 (x^{2} + x - 1)^{4} (2 x + 1)$
となります。最後に $u$ をもとの $x$ の式に戻しています。

手順4： $x = 1$ を代入する

$x = 1$ のとき、内側の値は $x^{2} + x - 1 = 1 + 1 - 1 = 1$ です。また $2 x + 1 = 3$ です。よって、
$f^{'} (1) = 5 \cdot 1^{4} \cdot 3 = 15$

答え

$15$

別解

合成関数の微分より $f^{'} (x) = 5 (x^{2} + x - 1)^{4} \cdot (2 x + 1)$ 。 $x = 1$ のとき $x^{2} + x - 1 = 1$ 、 $2 x + 1 = 3$ なので $f^{'} (1) = 5 \cdot 1^{4} \cdot 3 = 15$ 。検算： $u = x^{2} + x - 1$ とおくと $u (1) = 1$ 、 $u^{'} (1) = 3$ 、 $\frac{d}{d x} u^{5} = 5 u^{4} u^{'} = 5 \cdot 1 \cdot 3 = 15$ 。

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