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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

実数全体で定義された関数 $f (x) = (x^{2} + 2 x - 1)^{4}$ について、微分係数 $f^{'} (1)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

合成関数の微分（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

合成関数の微分（連鎖律）を使います。 $(x^{2} + 2 x - 1)^{4}$ を展開する必要はありません。

ヒント 2

$u = x^{2} + 2 x - 1$ とおくと $y = u^{4}$ です。 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ を使いましょう。

ヒント 3

$f^{'} (x) = 4 (x^{2} + 2 x - 1)^{3} (2 x + 2)$ となります。あとは $x = 1$ を代入します。

答えと解説

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128

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解説を読む

合成関数の微分法を使います。

手順 1：内側の関数と外側の関数に分ける。
$u = x^{2} + 2 x - 1$ とおくと、 $y = f (x) = u^{4}$ と表せます。外側の関数は $y = u^{4}$ 、内側の関数は $u = x^{2} + 2 x - 1$ です。

手順 2：それぞれを微分する。
$\frac{d y}{d u} = 4 u^{3}, \frac{d u}{d x} = 2 x + 2$

手順 3：連鎖律 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ を使う。
$f^{'} (x) = 4 u^{3} \cdot (2 x + 2) = 4 (x^{2} + 2 x - 1)^{3} (2 x + 2)$

手順 4： $x = 1$ を代入する。
$x = 1$ のとき $x^{2} + 2 x - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$ 、 $2 x + 2 = 4$ なので
$f^{'} (1) = 4 \cdot 2^{3} \cdot 4 = 4 \cdot 8 \cdot 4 = 128$

よって $f^{'} (1) = 128$ です。

別解

合成関数の微分より $f^{'} (x) = 4 (x^{2} + 2 x - 1)^{3} \cdot (2 x + 2)$ 。 $x = 1$ のとき $x^{2} + 2 x - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$ 、 $2 x + 2 = 4$ なので $f^{'} (1) = 4 \cdot 2^{3} \cdot 4 = 4 \cdot 8 \cdot 4 = 128$ 。検算： $u = x^{2} + 2 x - 1$ とおくと $f = u^{4}$ 、 $u (1) = 2$ 、 $u^{'} (1) = 4$ より $f^{'} (1) = 4 u^{3} u^{'} = 4 \cdot 8 \cdot 4 = 128$ 。

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