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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

実数全体で定義された関数 $f (x) = \frac{3 x - 1}{x ^{2} + 1}$ について、 $f^{'} (1)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

積と商の微分（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（18 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

分数の形をした関数なので、商の微分の公式を使います。

ヒント 2

分子を $g (x) = 3 x - 1$ 、分母を $h (x) = x^{2} + 1$ とおくと、 $f^{'} (x) = \frac{g ^{'} ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ^{'} ( x )}{{ h ( x ) } ^{2}}$ です。 $g^{'} (x) = 3$ 、 $h^{'} (x) = 2 x$ です。

ヒント 3

$f^{'} (x) = \frac{3 ( x ^{2} + 1 ) - ( 3 x - 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- 3 x ^{2} + 2 x + 3}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ となります。ここに $x = 1$ を代入しましょう。

答えと解説

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\frac{1}{2}

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解説を読む

商の微分の公式
${\frac{g ( x )}{h ( x )}}^{'} = \frac{g ^{'} ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ^{'} ( x )}{{ h ( x ) } ^{2}}$
を使う。

分子を $g (x) = 3 x - 1$ 、分母を $h (x) = x^{2} + 1$ とおくと、多項式の微分により
$g^{'} (x) = 3, h^{'} (x) = 2 x$
である。

これらを公式に代入すると
$f^{'} (x) = \frac{3 \cdot ( x ^{2} + 1 ) - ( 3 x - 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
となる。分子を展開して整理すると
$3 x^{2} + 3 - (6 x^{2} - 2 x) = - 3 x^{2} + 2 x + 3$
なので
$f^{'} (x) = \frac{- 3 x ^{2} + 2 x + 3}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
である。

$x = 1$ を代入すると
$f^{'} (1) = \frac{- 3 + 2 + 3}{( 1 + 1 ) ^{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

よって、 $f^{'} (1) = \frac{1}{2}$ である。

別解

$f (x) = \frac{3 x - 1}{x ^{2} + 1}$ を商の微分法で微分する。
$f^{'} (x) = \frac{3 ( x ^{2} + 1 ) - ( 3 x - 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{3 x ^{2} + 3 - 6 x ^{2} + 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- 3 x ^{2} + 2 x + 3}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ 。
$x = 1$ を代入すると、分子は $- 3 + 2 + 3 = 2$ 、分母は $(1 + 1)^{2} = 4$ なので、 $f^{'} (1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 。
検算： $h = 0.001$ のとき、 $f (1.001) = \frac{2.003}{2.002001} \approx 1.000500$ 、 $f (1) = 1$ なので、差を $h$ で割ると約 $0.5$ となり、一致する。

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