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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

関数 $f (x) = (x^{2} - 3)^{4}$ について、 $f^{'} (2)$ の値を求めよ。ただし、 $x$ は実数とする。

この問題で使うもの

合成関数の微分（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

合成関数の微分（連鎖律）を使います。 $(x^{2} - 3)^{4}$ を展開する必要はありません。

ヒント 2

$u = x^{2} - 3$ とおくと $y = u^{4}$ です。 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ を使いましょう。

ヒント 3

$\frac{d y}{d u} = 4 u^{3}$ 、 $\frac{d u}{d x} = 2 x$ なので、 $f^{'} (x) = 4 (x^{2} - 3)^{3} \cdot 2 x$ です。あとは $x = 2$ を代入します。

答えと解説

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16

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解説を読む

合成関数の微分（連鎖律）を使います。

手順1：内側の関数を置く。
$u = x^{2} - 3$ とおくと、 $f (x) = u^{4}$ と表せます。 $f (x)$ は「 $x$ から $u = x^{2} - 3$ を作り、それを $4$ 乗する」という合成関数です。

手順2：それぞれを微分する。
$\frac{d y}{d u} = (u^{4})^{'} = 4 u^{3}, \frac{d u}{d x} = (x^{2} - 3)^{'} = 2 x$

手順3：連鎖律でかけ合わせる。
$f^{'} (x) = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} = 4 u^{3} \cdot 2 x = 4 (x^{2} - 3)^{3} \cdot 2 x = 8 x (x^{2} - 3)^{3}$

手順4： $x = 2$ を代入する。
$x = 2$ のとき $x^{2} - 3 = 4 - 3 = 1$ なので
$f^{'} (2) = 8 \cdot 2 \cdot 1^{3} = 16$

よって、 $f^{'} (2) = 16$ です。

別解

合成関数の微分より $f^{'} (x) = 4 (x^{2} - 3)^{3} \cdot 2 x = 8 x (x^{2} - 3)^{3}$ 。 $x = 2$ を代入すると $x^{2} - 3 = 1$ なので $f^{'} (2) = 8 \cdot 2 \cdot 1^{3} = 16$ 。検算： $u = x^{2} - 3$ とおくと $u (2) = 1$ 、 $d u / d x = 2 x = 4$ 、 $d (u^{4}) / d u = 4 u^{3} = 4$ より $4 \cdot 4 = 16$ 。

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