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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

$x > 0$ で定義された関数 $f (x) = 2^{x} + lo g x$ について、 $f^{'} (1)$ の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。

この問題で使うもの

指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（27 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

指数関数・対数関数の導関数の公式を使い、 $2^{x}$ と $lo g x$ をそれぞれ微分しましょう。

ヒント 2

$(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a$ 、 $(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ です。

ヒント 3

$f^{'} (x) = 2^{x} lo g 2 + \frac{1}{x}$ となります。あとは $x = 1$ を代入します。

答えと解説

答えを見る

2 lo g 2 + 1

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解説を読む

指数関数・対数関数の導関数の公式を使います。

使う公式
$a > 0, a \neq = 1$ のとき
$(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a, (lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$
が成り立ちます。

手順 1：項ごとに微分する
微分の線形性より、和の導関数は各項の導関数の和です。
- 第 1 項： $a = 2$ として $(2^{x})^{'} = 2^{x} lo g 2$
- 第 2 項： $(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$

したがって
$f^{'} (x) = 2^{x} lo g 2 + \frac{1}{x}$
です。

手順 2： $x = 1$ を代入する
$f^{'} (1) = 2^{1} lo g 2 + \frac{1}{1} = 2 lo g 2 + 1$

よって、 $f^{'} (1) = 2 lo g 2 + 1$ です。

別解

$f (x) = 2^{x} + lo g x$ を微分すると、 $f^{'} (x) = 2^{x} lo g 2 + \frac{1}{x}$ 。よって $f^{'} (1) = 2 lo g 2 + 1$ 。
検算： $(2^{x})^{'} = 2^{x} lo g 2$ は $2^{x} = e^{x l o g 2}$ から得られ、 $x = 1$ で $2 lo g 2$ 。 $(lo g x)^{'} = 1/ x$ は $x = 1$ で $1$ 。したがって合計は $1 + 2 lo g 2$ 。

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