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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

$x > 0$ で定義された関数 $f (x) = 2^{x} - 3 lo g x$ の導関数 $f^{'} (x)$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。

この問題で使うもの

指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（27 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「指数関数・対数関数の導関数」の公式を使います。 $2^{x}$ と $lo g x$ をそれぞれ微分しましょう。

ヒント 2

$(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a$ 、 $(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ です。定数倍と差は、項ごとに微分してから組み合わせれば十分です。

ヒント 3

$f^{'} (x) = (2^{x})^{'} - 3 (lo g x)^{'}$ と分けられます。 $(2^{x})^{'} = 2^{x} lo g 2$ です。残りの項を計算しましょう。

答えと解説

答えを見る

2^{x} lo g 2 - \frac{3}{x}

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解説を読む

指数関数・対数関数の導関数の公式を使います。

使う公式（ $a > 0, a \neq = 1$ 、 $lo g$ は自然対数）
$(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a, (lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$

$a^{x}$ の公式は $a^{x} = e^{x l o g a}$ と書き直し、 $(e^{x})^{'} = e^{x}$ と合成関数の微分を使うと次のように導けます。
$(a^{x})^{'} = (e^{x l o g a})^{'} = e^{x l o g a} \cdot lo g a = a^{x} lo g a$

手順1：項ごとに分ける
微分の線形性より
$f^{'} (x) = (2^{x})^{'} - 3 (lo g x)^{'}$

手順2：それぞれに公式を当てはめる
$a = 2$ として $(2^{x})^{'} = 2^{x} lo g 2$ です。また $(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ です。

手順3：まとめる
$f^{'} (x) = 2^{x} lo g 2 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 2^{x} lo g 2 - \frac{3}{x}$

よって $f^{'} (x) = 2^{x} lo g 2 - \frac{3}{x}$ です。

別解

$(2^{x})^{'} = 2^{x} lo g 2$ 、 $(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ であるから、 $f^{'} (x) = 2^{x} lo g 2 - \frac{3}{x}$ 。
検算： $x = 1$ で $f^{'} (1) = 2 lo g 2 - 3$ 。 $f (x) = e^{x l o g 2} - 3 lo g x$ と書き直して微分しても $lo g 2 \cdot e^{x l o g 2} - 3/ x$ となり一致する。

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