微分法の問題

$t=\log x$ とおく。$x>0$ のとき $t$ はすべての実数値をとり、$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$ である。

第1次導関数
商の微分法より
$$f^{\prime }(x)=\frac{2\log x\cdot \frac{1}{x}\cdot x-(\log x{)}^2\cdot 1}{x^2}=\frac{2t-t^2}{x^2}=\frac{t(2-t)}{x^2}$$
となる。$x^2>0$ なので
$$f^{\prime }(x)>0⟺t(2-t)>0⟺0<t<2$$
である。

第2次導関数
分子 $2t-t^2$ を $x$ で微分すると $\frac{2-2t}{x}$ である。よって
$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{\frac{2-2t}{x}\cdot x^2-(2t-t^2)\cdot 2x}{x^4}=\frac{(2-2t)-2(2t-t^2)}{x^3}=\frac{2(t^2-3t+1)}{x^3}$$
となる。$x^3>0$ なので
$$f^{\prime \prime }(x)<0⟺t^2-3t+1<0$$
である。$t^2-3t+1=0$ の解は $t=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ だから、
$$f^{\prime \prime }(x)<0⟺\frac{3-\sqrt{5}}{2}<t<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$
である。

共通部分
$2<\sqrt{5}<3$ より、
$$0<\frac{3-\sqrt{5}}{2}<\frac{1}{2},\frac{5}{2}<\frac{3+\sqrt{5}}{2}<3$$
である。したがって、2つの条件を同時に満たす $t$ の範囲は
$$\frac{3-\sqrt{5}}{2}<t<2$$
となる。

$t=\log x$ は $x$ について単調に増加するので、求める範囲は
$$e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}<x<e^2$$
である。

(参考: $f(x)$ は $x=1$ で極小値 $0$、$x=e^2$ で極大値 $\frac{4}{e^2}$ をとる。また、変曲点の $x$ 座標は $e^{\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}}$ である。)

$L=\log x$ とおく。

$f^{\prime }(x)=\frac{2\cdot \frac{1}{x}\log x\cdot x-(\log x{)}^2}{x^2}=\frac{L(2-L)}{x^2}$ である。

$f^{\prime }(x)>0$ となるのは $0<L<2$ のとき、すなわち $1<x<e^2$ である。

次に $f^{\prime \prime }(x)$ を求める。$f^{\prime }(x)=(2L-L^2)x^{-2}$ を微分すると
$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2-2L}{x}\cdot x^{-2}-2(2L-L^2)x^{-3}=\frac{2L^2-6L+2}{x^3}=\frac{2(L^2-3L+1)}{x^3}$

$x>0$ より、$f^{\prime \prime }(x)<0$ は $L^2-3L+1<0$ と同値である。これを解くと $\frac{3-\sqrt{5}}{2}<L<\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ である。

$0<L<2$ との共通部分は $\frac{3-\sqrt{5}}{2}<L<2$ となる。ここで $\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.38>0$ であり、$\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2.62>2$ である。

よって $e^{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}<x<e^2$ である。

検算として $x=e$（$L=1$）を代入すると、$L^2-3L+1=-1<0$ で $f^{\prime \prime }<0$、$f^{\prime }>0$ となり条件を満たす。