微分法の問題

$$f^{\prime }(x)=e^x+a\sin x$$
である。$x\geqq 0$ で $e^x+a\sin x\geqq 0$ となる条件を求める。

(i) $a=0$ のとき $f^{\prime }(x)=e^x>0$ なので成り立つ。

(ii) $a>0$ のとき $\sin x\geqq 0$ となる $x$ では明らかに $f^{\prime }(x)>0$ である。$\sin x<0$ となるのは $(2k-1)\pi <x<2k\pi$（$k$ は正の整数）のときで、このとき条件は
$$a\leqq \frac{e^x}{-\sin x}$$
と同値である。$h(x)=\frac{e^x}{-\sin x}$ とおくと
$$h^{\prime }(x)=\frac{e^x(-\sin x)-e^x(-\cos x)}{{\sin }^{2}x}=\frac{e^x(\cos x-\sin x)}{{\sin }^{2}x}=\frac{\sqrt{2}{e}^x\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)}{{\sin }^{2}x}$$
である。$(2k-1)\pi <x<2k\pi$ において $x+\frac{\pi }{4}$ は $(2k-1)\pi +\frac{\pi }{4}$ から $2k\pi +\frac{\pi }{4}$ まで動くので、$\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ は $x<(2k-1)\pi +\frac{\pi }{4}$ で負、$x>(2k-1)\pi +\frac{\pi }{4}$ で正である。よって $h(x)$ はこの区間で $x=(2k-1)\pi +\frac{\pi }{4}$ のとき最小となり、そのとき $-\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ だから最小値は
$$\frac{e^{(2k-1)\pi +\frac{\pi }{4}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}{e}^{(2k-1)\pi +\frac{\pi }{4}}$$
である。これは $k$ が大きいほど大きいので、すべての $k$ で $a\leqq h(x)$ となる条件は $k=1$ の場合の
$$a\leqq \sqrt{2}{e}^{\frac{5\pi }{4}}$$
である。

(iii) $a<0$ のとき $b=-a>0$ とおくと $f^{\prime }(x)=e^x-b\sin x$ である。$\sin x\leqq 0$ では $f^{\prime }(x)>0$。$\sin x>0$ となるのは $2k\pi <x<(2k+1)\pi$（$k$ は $0$ 以上の整数）のときで、条件は
$$b\leqq \frac{e^x}{\sin x}$$
と同値である。$p(x)=\frac{e^x}{\sin x}$ とおくと
$$p^{\prime }(x)=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{{\sin }^{2}x}=\frac{\sqrt{2}{e}^x\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)}{{\sin }^{2}x}$$
である。$2k\pi <x<(2k+1)\pi$ では $x-\frac{\pi }{4}$ が $2k\pi -\frac{\pi }{4}$ から $2k\pi +\frac{3\pi }{4}$ まで動くので、$p^{\prime }(x)$ は $x=2k\pi +\frac{\pi }{4}$ で負から正に変わる。よって $p(x)$ の最小値は
$$\frac{e^{2k\pi +\frac{\pi }{4}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}{e}^{2k\pi +\frac{\pi }{4}}$$
で、$k=0$ のときが最も小さい。よって条件は $b\leqq \sqrt{2}{e}^{\frac{\pi }{4}}$、すなわち
$$a\geqq -\sqrt{2}{e}^{\frac{\pi }{4}}$$
である。

以上をまとめて、求める範囲は
$$-\sqrt{2}{e}^{\frac{\pi }{4}}\leqq a\leqq \sqrt{2}{e}^{\frac{5\pi }{4}}$$
である。

$f^{\prime }(x)=e^x+a\sin x$。$x\geqq 0$ のすべての $x$ で $e^x+a\sin x\geqq 0$ となる $a$ の範囲を求める。\n\n$x=0$ では $f^{\prime }(0)=1>0$ で任意の $a$ で成り立つ。\n\n$a\geqq 0$ のとき: $\sin x\geqq 0$ なら $e^x+a\sin x>0$。$\sin x<0$ のとき $a\sin x\geqq a\cdot (-1)=-a$ なので、一般には言えない。そこで場合分けを正しく行う。\n\n不等式 $e^x\geqq -a\sin x$ を考える。$k=-a$ とおくと $e^x\geqq k\sin x$ $(x\geqq 0)$。\n\n(i) $k\leqq 0$（$a\geqq 0$）のとき、$\sin x\geqq 0$ の範囲では右辺は $\leqq 0$ で成り立つ。$\sin x<0$ の範囲では右辺 $=k\sin x=|k|\cdot |\sin x|\cdot$（正）ではなく、$k\sin x=(-a)\sin x=a|\sin x|\leqq a$ となり、$e^x\geqq a|\sin x|$ を示す必要がある。これは $\sin x<0$ すなわち $x>\pi$ の範囲で $e^x>e^{\pi }>23>$ ... と大きく、一般の $a\geqq 0$ では不成立の可能性があるため、改めて整理する。\n\n整理し直す: $f^{\prime }(x)=e^x+a\sin x\geqq 0$ を、$\sin x$ の符号で分ける。\n- $\sin x>0$ のとき: $a\geqq -\frac{e^x}{\sin x}$。\n- $\sin x<0$ のとき: $a\leqq \frac{e^x}{-\sin x}=\frac{e^x}{|\sin x|}$。\n- $\sin x=0$ のとき: $f^{\prime }(x)=e^x>0$ で常に成り立つ。\n\n(A) $\sin x>0$ の範囲 $x\in (2m\pi ,(2m+1)\pi )$ $(m=0,1,2,\dots )$。$g(x)=\frac{e^x}{\sin x}$ とおくと $g^{\prime }(x)=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{{\sin }^{2}x}$。区間内で $g^{\prime }=0$ は $x=2m\pi +\frac{\pi }{4}$ のみで、そこで極小。最小値は $g(2m\pi +\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}{e}^{2m\pi +\frac{\pi }{4}}$。$m=0$ のとき最小で $\sqrt{2}{e}^{\frac{\pi }{4}}$。よって $a\geqq -\sqrt{2}{e}^{\frac{\pi }{4}}$ が必要十分。\n\n(B) $\sin x<0$ の範囲 $x\in ((2m-1)\pi ,2m\pi )$ $(m=1,2,\dots )$。$h(x)=\frac{e^x}{-\sin x}$ とおくと $h^{\prime }(x)=\frac{e^x(-\sin x+\cos x)}{{\sin }^{2}x}$、$h^{\prime }=0$ は $\tan x=1$、すなわち $x=(2m-1)\pi +\frac{\pi }{4}$ のみで、そこで極小。最小値は $h(\pi +\frac{\pi }{4})=\frac{e^{\frac{5\pi }{4}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}{e}^{\frac{5\pi }{4}}$。$m$ が増えるほど大きい。よって $a\leqq \sqrt{2}{e}^{\frac{5\pi }{4}}$ が必要十分。\n\n(A), (B) をあわせて、求める範囲は\n$$-\sqrt{2}{e}^{\frac{\pi }{4}}\leqq a\leqq \sqrt{2}{e}^{\frac{5\pi }{4}}.$$\n\n検算: $a=0$ は範囲内で $f^{\prime }(x)=e^x>0$ で成り立つ。$a=\sqrt{2}{e}^{5\pi /4}$ のとき $x=\frac{5\pi }{4}$ で $f^{\prime }=e^{5\pi /4}+\sqrt{2}{e}^{5\pi /4}\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=0$ で等号。$a=-\sqrt{2}{e}^{\pi /4}$ のとき $x=\frac{\pi }{4}$ で $f^{\prime }=e^{\pi /4}-\sqrt{2}{e}^{\pi /4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=0$ で等号。