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微分法の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学III 微分法

$a$ を実数の定数とし、 $x > 0$ で定義された関数
$f (x) = (x^{2} + a) e^{- x}$
を考える。 $x > 0$ において $f (x)$ が極値をちょうど $1$ つもち、かつ曲線 $y = f (x) (x > 0)$ が変曲点をちょうど $2$ つもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

積と商の微分（説明と入口の問題）
合成関数の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
増減表と極値（説明と入口の問題）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（説明と入口の問題）
2 次不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（37 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$f^{'} (x)$ と $f^{''} (x)$ を計算して、 $e^{- x} > 0$ を使い、それぞれの符号を $2$ 次式の符号に帰着させましょう。

ヒント 2

極値は $x^{2} - 2 x + a$ が、変曲点は $x^{2} - 4 x + a + 2$ が、 $x > 0$ で符号を変える点に対応します。 $2$ 次方程式の解が正の範囲にいくつあるかを、判別式・軸・端点の値で調べましょう。

ヒント 3

$f^{'} (x) = - (x^{2} - 2 x + a) e^{- x}$ 、 $f^{''} (x) = (x^{2} - 4 x + a + 2) e^{- x}$ です。 $x^{2} - 2 x + a = 0$ の解は $1 \pm 1 - a$ です。小さい方の解が正になるかどうかで場合分けし、 $a = 0$ の場合にも注意しましょう。

答えと解説

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- 2 < a ≦ 0

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解説を読む

導関数の計算

$f^{'} (x) = 2 x e^{- x} - (x^{2} + a) e^{- x} = - (x^{2} - 2 x + a) e^{- x}$

$f^{''} (x) = - (2 x - 2) e^{- x} + (x^{2} - 2 x + a) e^{- x} = (x^{2} - 4 x + a + 2) e^{- x}$

$e^{- x} > 0$ である。よって $f^{'} (x)$ の符号は $- (x^{2} - 2 x + a)$ の符号と一致し、 $f^{''} (x)$ の符号は $x^{2} - 4 x + a + 2$ の符号と一致する。

極値の条件

$f (x)$ が極値をとるのは、 $f^{'} (x)$ の符号が変わる点である。つまり $g (x) = x^{2} - 2 x + a$ が $x > 0$ で符号を変える点である。

$a ≧ 1$ のとき:判別式について $\frac{D}{4} = 1 - a ≦ 0$ である。 $g (x) ≧ 0$ となり符号は変わらないので、極値はない。
$a < 1$ のとき: $g (x) = 0$ は異なる $2$ つの実数解 $x = 1 \pm 1 - a$ をもつ。大きい方の解 $1 + 1 - a$ は常に正である。小さい方の解 $1 - 1 - a$ について、次のように場合が分かれる。
$0 < a < 1$ のとき: $1 - a < 1$ より $1 - 1 - a > 0$ である。極値は $2$ つになる。
$a = 0$ のとき:解は $0$ と $2$ である。 $x > 0$ にあるのは $x = 2$ だけなので、極値は $1$ つになる。
$a < 0$ のとき: $1 - a > 1$ より $1 - 1 - a < 0$ である。極値は $1$ つになる。

したがって、極値がちょうど $1$ つとなる条件は $a ≦ 0$ である。

変曲点の条件

変曲点は $f^{''} (x)$ の符号が変わる点である。つまり $h (x) = x^{2} - 4 x + a + 2$ が $x > 0$ で符号を変える点である。

変曲点がちょうど $2$ つあるためには、 $h (x) = 0$ が $x > 0$ に異なる $2$ つの実数解をもてばよい。 $h (x) = 0$ の解は高々 $2$ 個なので、これが必要十分である。条件は次の通り。

判別式: $\frac{D}{4} = 4 - (a + 2) = 2 - a > 0$ より $a < 2$
軸: $x = 2 > 0$ (常に成り立つ)
端点: $h (0) = a + 2 > 0$ より $a > - 2$

よって $- 2 < a < 2$ である。

(参考: $a = - 2$ のときは解が $x = 0, 4$ となり、 $x > 0$ の変曲点は $1$ つだけである。)

まとめ

$a ≦ 0$ と $- 2 < a < 2$ の共通部分をとって
$- 2 < a ≦ 0$

別解

$f^{'} (x) = - (x^{2} - 2 x + a) e^{- x}$ 、 $f^{''} (x) = (x^{2} - 4 x + a + 2) e^{- x}$ 。

【極値】 $x > 0$ で $f^{'}$ の符号が変わる点がちょうど1つになる条件を考える。 $g (x) = x^{2} - 2 x + a$ の解は $x = 1 \pm 1 - a$ である。
- $a < 0$ のとき、解は $1 - 1 - a < 0$ と $1 + 1 - a > 0$ なので、正の解は1つ。
- $a = 0$ のとき、解は $0, 2$ なので、正の解は $x = 2$ の1つ。
- $0 < a < 1$ のとき、解は2つとも正で、極値は2つ。
- $a = 1$ のとき、重解で符号が変わらず、極値は0個。
- $a > 1$ のとき、実数解がなく、極値は0個。

よって条件は $a \leq 0$ 。

【変曲点】 $h (x) = x^{2} - 4 x + a + 2$ の解は $x = 2 \pm 2 - a$ である。 $a < 2$ なら異なる2解をもち、符号が変わる。2解がともに正になる条件は $2 - 2 - a > 0$ 、すなわち $2 - a < 4$ 、よって $a > - 2$ 。したがって $- 2 < a < 2$ 。

【共通部分】 $- 2 < a \leq 0$ 。

【検算】 $a = 0$ では極値は $x = 2$ のみ、変曲点は $2 \pm 2$ の2つで、ともに正なので条件を満たす。 $a = - 2$ では変曲点の解が $0, 4$ で、 $x > 0$ では $x = 4$ の1つだけなので不適。

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