微分法の問題

法線の方程式

$C$ 上の点 $\mathrm{P}(t,\log t)(t>0)$ をとる。$y^{\prime }=\frac{1}{x}$ より、$\mathrm{P}$ における接線の傾きは $\frac{1}{t}$ である。したがって法線の傾きは $-t$ であり、法線の方程式は
$$y-\log t=-t(x-t)$$
となる。

点 A を通る条件

この法線が $\mathrm{A}(3,b)$ を通る条件は
$$b-\log t=-t(3-t)$$
である。整理すると
$$b=t^2-3t+\log t$$
となる。

法線の本数と解の個数の対応

接点の $x$ 座標 $t$ が異なると、法線の傾き $-t$ も異なる。よって、異なる $t$ に対応する法線は異なる直線である。したがって、求める条件は「$t$ の方程式 $g(t)=b$ が $t>0$ の範囲に異なる実数解をちょうど $3$ 個もつこと」である。ここで
$$g(t)=t^2-3t+\log t(t>0)$$
とおいた。

$g(t)$ の増減

$$g^{\prime }(t)=2t-3+\frac{1}{t}=\frac{2t^2-3t+1}{t}=\frac{(2t-1)(t-1)}{t}$$
$t>0$ より、$g^{\prime }(t)$ の符号は次のようになる。
- $0<t<\frac{1}{2}$ で $g^{\prime }(t)>0$
- $\frac{1}{2}<t<1$ で $g^{\prime }(t)<0$
- $t>1$ で $g^{\prime }(t)>0$

よって、$g(t)$ は $t=\frac{1}{2}$ で極大、$t=1$ で極小となる。

極大値は
$$g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+\log \frac{1}{2}=-\frac{5}{4}-\log 2$$
極小値は
$$g(1)=1-3+0=-2$$
である。

端での様子

• $t\to +0$ のとき、$t^2-3t\to 0$、$\log t\to -\infty$ より $g(t)\to -\infty$
• $t\to \infty$ のとき、$t^2-3t=t(t-3)\to \infty$ かつ $t>1$ で $\log t>0$ より $g(t)\to \infty$

結論

$\log 2<\frac{3}{4}$ より $-\frac{5}{4}-\log 2>-2$ であり、極大値は極小値より大きい。$y=g(t)$ のグラフと直線 $y=b$ が異なる $3$ 点で交わる条件は、極小値 $<b<$ 極大値、すなわち
$$-2<b<-\frac{5}{4}-\log 2$$
である。

曲線上の点 $(t,\log t)$ ($t>0$) における接線の傾きは $1/t$ なので、法線の傾きは $-t$ である。法線は $y-\log t=-t(x-t)$。これが $\mathrm{A}(3,b)$ を通る条件は $b=\log t+t^2-3t$ である。

異なる法線は異なる $t$ に対応する（傾き $-t$ が異なる）ので、この方程式の正の実数解 $t$ がちょうど3個となる $b$ を求めればよい。

$f(t)=\log t+t^2-3t$ とおくと $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t}+2t-3=\frac{(2t-1)(t-1)}{t}$。
増減は $0<t<\frac{1}{2}$ で増加、$\frac{1}{2}<t<1$ で減少、$t>1$ で増加。
極大値 $f(1/2)=-\log 2+\frac{1}{4}-\frac{3}{2}=-\frac{5}{4}-\log 2$、極小値 $f(1)=-2$。
$t\to +0$ で $f\to -\infty$、$t\to \infty$ で $f\to \infty$。

したがって、直線 $y=b$ と $y=f(t)$ が3点で交わるのは $-2<b<-\frac{5}{4}-\log 2$ のとき。

検算：$-\frac{5}{4}-\log 2\approx -1.943>-2$ であり、極大値＞極小値で整合する。例えば $b=-1.98$ のとき、各増減区間で1個ずつ解をもつ。