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微分法の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学III 微分法

$k$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$4 e^{x} = k (4 x^{2} + 3)$
が異なる 3 つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底であり、 $x \to \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{2}} = \infty$ を用いてよい。

この問題で使うもの

積と商の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
増減表と極値（説明と入口の問題）
関数の極限（説明と入口の問題）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

定数 $k$ を分離して $k = f (x)$ の形にし、曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = k$ の共有点の個数を考えましょう。

ヒント 2

$f (x) = \frac{4 e ^{x}}{4 x ^{2} + 3}$ とおくと、 $f^{'} (x)$ の分子は $4 e^{x} (4 x^{2} - 8 x + 3)$ となり、因数分解できます。 $x \to \pm \infty$ での $f (x)$ の様子も調べましょう。

ヒント 3

$f^{'} (x) = \frac{4 e ^{x} ( 2 x - 1 ) ( 2 x - 3 )}{( 4 x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ より、 $x = \frac{1}{2}$ で極大、 $x = \frac{3}{2}$ で極小になります。極値を計算し、どちらが大きいかを $e < 3$ を用いて比べ、 $x \to - \infty$ で $f (x) \to 0$ 、 $x \to \infty$ で $f (x) \to \infty$ となることと合わせてグラフをかきましょう。

答えと解説

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\frac{e ^{\frac{3}{2}}}{3} < k < e

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解説を読む

すべての実数 $x$ で $4 x^{2} + 3 > 0$ なので、方程式は
$k = \frac{4 e ^{x}}{4 x ^{2} + 3}$
と同値である。そこで $f (x) = \frac{4 e ^{x}}{4 x ^{2} + 3}$ とおくと、求める条件は「曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = k$ が異なる 3 点で交わること」である。

増減を調べる。
$f^{'} (x) = \frac{4 e ^{x} ( 4 x ^{2} + 3 ) - 4 e ^{x} \cdot 8 x}{( 4 x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{4 e ^{x} ( 4 x ^{2} - 8 x + 3 )}{( 4 x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{4 e ^{x} ( 2 x - 1 ) ( 2 x - 3 )}{( 4 x ^{2} + 3 ) ^{2}}$
$4 e^{x} > 0$ , $(4 x^{2} + 3)^{2} > 0$ なので、 $f^{'} (x)$ の符号は $(2 x - 1) (2 x - 3)$ の符号と一致する。よって $f (x)$ は
- $x < \frac{1}{2}$ で増加
- $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ で減少
- $x > \frac{3}{2}$ で増加

となる。極値は
$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 e ^{\frac{1}{2}}}{1 + 3} = e (極大値), f (\frac{3}{2}) = \frac{4 e ^{\frac{3}{2}}}{9 + 3} = \frac{e ^{\frac{3}{2}}}{3} (極小値)$
である。ここで
$e - \frac{e ^{\frac{3}{2}}}{3} = e (1 - \frac{e}{3}) > 0 (e < 3 より)$
なので、極小値は極大値より小さい。

端での様子を調べる。
$x \to - \infty$ のとき $4 e^{x} \to 0$ , $4 x^{2} + 3 \to \infty$ なので $f (x) \to 0$ 。また $f (x) > 0$ である。
$x \to \infty$ のとき
$f (x) = \frac{e ^{x}}{x ^{2}} \cdot \frac{4}{4 + \frac{3}{x ^{2}}}$
で、 $\frac{e ^{x}}{x ^{2}} \to \infty$ , $\frac{4}{4 + \frac{3}{x ^{2}}} \to 1$ より $f (x) \to \infty$ 。

交点の個数を数える。
各区間で $f$ は単調かつ連続なので、各区間でとる値の範囲は
- $x < \frac{1}{2}$ で $0 < f (x) < e$
- $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ で $\frac{e ^{3/2}}{3} < f (x) < e$
- $x > \frac{3}{2}$ で $f (x) > \frac{e ^{3/2}}{3}$

である。 $\frac{e ^{3/2}}{3} < k < e$ のとき、3 つの区間それぞれでちょうど 1 つずつ解をもち、異なる 3 つの実数解をもつ。

それ以外の場合を確かめる。
- $k = e$ のとき、解は $x = \frac{1}{2}$ と $x > \frac{3}{2}$ の 1 つで 2 個。
- $k = \frac{e ^{3/2}}{3}$ のとき、解は $x = \frac{3}{2}$ と $x < \frac{1}{2}$ の 1 つで 2 個。
- $k > e$ または $0 < k < \frac{e ^{3/2}}{3}$ のとき 1 個。
- $k \leq 0$ のとき 0 個。

いずれも 3 個にはならない。

以上より、求める範囲は
$\frac{e ^{\frac{3}{2}}}{3} < k < e$

別解

$k = \frac{4 e ^{x}}{4 x ^{2} + 3}$ と変形し、 $f (x) = \frac{4 e ^{x}}{4 x ^{2} + 3}$ とおく。 $k$ の値によらず $4 x^{2} + 3 > 0$ なので同値変形できる。方程式の実数解の個数は、 $y = f (x)$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の個数に等しい。

$f^{'} (x) = \frac{4 e ^{x} ( 4 x ^{2} + 3 ) - 4 e ^{x} \cdot 8 x}{( 4 x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{4 e ^{x} ( 4 x ^{2} - 8 x + 3 )}{( 4 x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{4 e ^{x} ( 2 x - 1 ) ( 2 x - 3 )}{( 4 x ^{2} + 3 ) ^{2}}$

よって $f$ は $x < \frac{1}{2}$ で増加、 $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ で減少、 $x > \frac{3}{2}$ で増加する。

極大値は $f (1/2) = \frac{4 e}{4} = e$ 、極小値は $f (3/2) = \frac{4 e ^{3/2}}{12} = \frac{e ^{3/2}}{3}$ 。

極限は、 $x \to - \infty$ で $f (x) \to 0$ （常に $f (x) > 0$ ）。 $x \to \infty$ では $\frac{e ^{x}}{x ^{2}} \to \infty$ より $f (x) \to \infty$ 。

大小は $e \approx 1.6487$ 、 $e^{3/2} /3 \approx 1.4939$ なので、極小値は極大値より小さい。

直線 $y = k$ との共有点が 3 個になるのは、極小値と極大値の間（端点を含まない）にあるときである。 $k = e$ や $k = e^{3/2} /3$ のときは共有点が 2 個になる。

したがって $\frac{e ^{3/2}}{3} < k < e$ 。

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