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微分法の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学III 微分法

$k$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$e^{x} sin x = k (0 ≦ x ≦ 3 π)$
が、異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

積と商の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
三角関数の導関数（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）
弧度法と単位円による三角関数（説明と入口の問題）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$f (x) = e^{x} sin x$ とおき、曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = k$ の共有点の個数を考えましょう。そのために $f (x)$ の増減表を作ります。

ヒント 2

$f^{'} (x) = e^{x} (sin x + cos x) = 2 e^{x} sin (x + \frac{π}{4})$ と合成すると、 $f^{'} (x) = 0$ となる $x$ と符号の変化がわかります。

ヒント 3

$f^{'} (x) = 0$ となるのは $x = \frac{3}{4} π, \frac{7}{4} π, \frac{11}{4} π$ で、 $f$ は増加→減少→増加→減少と変化します。極大値 $\frac{2}{2} e^{\frac{3}{4} π}$ と $\frac{2}{2} e^{\frac{11}{4} π}$ の大小、端点の値 $f (0) = f (3 π) = 0$ に注意して、 $k$ の値で場合分けして数えましょう。

答えと解説

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- \frac{2}{2} e^{\frac{7}{4} π} < k < 0, \frac{2}{2} e^{\frac{3}{4} π} < k < \frac{2}{2} e^{\frac{11}{4} π}

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解説を読む

$f (x) = e^{x} sin x (0 ≦ x ≦ 3 π)$ とおく。方程式の実数解の個数は、曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = k$ の共有点の個数に等しい。

増減を調べる。
$f^{'} (x) = e^{x} sin x + e^{x} cos x = e^{x} (sin x + cos x) = 2 e^{x} sin (x + \frac{π}{4})$
$e^{x} > 0$ であるから、 $f^{'} (x)$ の符号は $sin (x + \frac{π}{4})$ の符号と一致する。 $0 ≦ x ≦ 3 π$ のとき $\frac{π}{4} ≦ x + \frac{π}{4} ≦ \frac{13}{4} π$ なので、 $f^{'} (x) = 0$ となるのは $x + \frac{π}{4} = π, 2 π, 3 π$ 、すなわち $x = \frac{3}{4} π, \frac{7}{4} π, \frac{11}{4} π$ のときである。符号は
- $0 ≦ x < \frac{3}{4} π$ で $f^{'} (x) > 0$
- $\frac{3}{4} π < x < \frac{7}{4} π$ で $f^{'} (x) < 0$
- $\frac{7}{4} π < x < \frac{11}{4} π$ で $f^{'} (x) > 0$
- $\frac{11}{4} π < x ≦ 3 π$ で $f^{'} (x) < 0$

極値と端の値。
$f (\frac{3}{4} π) = \frac{2}{2} e^{\frac{3}{4} π}, f (\frac{7}{4} π) = - \frac{2}{2} e^{\frac{7}{4} π}, f (\frac{11}{4} π) = \frac{2}{2} e^{\frac{11}{4} π}$
( $sin \frac{11}{4} π = sin \frac{3}{4} π = \frac{2}{2}$ を用いた。) また $f (0) = 0$ , $f (3 π) = 0$ であり、 $f (x) = 0$ となるのは $sin x = 0$ より $x = 0, π, 2 π, 3 π$ である。

ここで $M_{1} = \frac{2}{2} e^{\frac{3}{4} π}$ , $M_{2} = \frac{2}{2} e^{\frac{11}{4} π}$ , $m = \frac{2}{2} e^{\frac{7}{4} π}$ とおくと、 $0 < M_{1} < M_{2}$ , $m > 0$ である。

グラフは次の $4$ つの単調な部分からなる。
- $(i)$ $0 ≦ x ≦ \frac{3}{4} π$ ： $0$ から $M_{1}$ まで増加
- $(ii)$ $\frac{3}{4} π ≦ x ≦ \frac{7}{4} π$ ： $M_{1}$ から $- m$ まで減少（ $x = π$ で $0$ ）
- $(iii)$ $\frac{7}{4} π ≦ x ≦ \frac{11}{4} π$ ： $- m$ から $M_{2}$ まで増加（ $x = 2 π$ で $0$ ）
- $(iv)$ $\frac{11}{4} π ≦ x ≦ 3 π$ ： $M_{2}$ から $0$ まで減少

直線 $y = k$ との共有点の個数。
- $k > M_{2}$ ： $0$ 個
- $k = M_{2}$ ： $x = \frac{11}{4} π$ の $1$ 個
- $M_{1} < k < M_{2}$ ： $(iii)$ , $(iv)$ に $1$ 個ずつで $2$ 個
- $k = M_{1}$ ： $x = \frac{3}{4} π$ と、 $(iii)$ , $(iv)$ に $1$ 個ずつで $3$ 個
- $0 < k < M_{1}$ ： $(i)$ 〜 $(iv)$ に $1$ 個ずつで $4$ 個
- $k = 0$ ： $x = 0, π, 2 π, 3 π$ の $4$ 個
- $- m < k < 0$ ： $(ii)$ , $(iii)$ に $1$ 個ずつで $2$ 個
- $k = - m$ ： $x = \frac{7}{4} π$ の $1$ 個
- $k < - m$ ： $0$ 個

よって、ちょうど $2$ 個の実数解をもつ $k$ の範囲は
$- \frac{2}{2} e^{\frac{7}{4} π} < k < 0, \frac{2}{2} e^{\frac{3}{4} π} < k < \frac{2}{2} e^{\frac{11}{4} π}$

別解

$f (x) = e^{x} sin x$ とおくと、 $f^{'} (x) = e^{x} (sin x + cos x) = 2 e^{x} sin (x + π /4)$ である。 $0 ≦ x ≦ 3 π$ で $f^{'} (x) = 0$ となるのは $x = \frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{11 π}{4}$ である。

増減は次のとおり。
- $0 \leq x \leq \frac{3 π}{4}$ :増加
- $\frac{3 π}{4} \leq x \leq \frac{7 π}{4}$ :減少
- $\frac{7 π}{4} \leq x \leq \frac{11 π}{4}$ :増加
- $\frac{11 π}{4} \leq x \leq 3 π$ :減少

値は次のとおり。
- $f (0) = 0$
- 極大値 $A = f (3 π /4) = \frac{2}{2} e^{3 π /4}$
- 極小値 $B = f (7 π /4) = - \frac{2}{2} e^{7 π /4}$
- 極大値 $C = f (11 π /4) = \frac{2}{2} e^{11 π /4}$
- $f (3 π) = 0$

$0 < A < C$ であり、 $B < 0$ である。

$y = k$ との共有点の個数を調べる。
- $k > C$ :0個
- $k = C$ :1個
- $A < k < C$ :増加区間 $[7 π /4, 11 π /4]$ と減少区間 $[11 π /4, 3 π]$ で1個ずつ、計2個(前半の2区間では値が $A$ 以下なので解なし)
- $k = A$ : $x = 3 π /4$ と後半の2個で計3個
- $0 < k < A$ :4区間で1個ずつ、計4個
- $k = 0$ : $x = 0, π, 2 π, 3 π$ の4個
- $B < k < 0$ :区間 $[3 π /4, 7 π /4]$ と $[7 π /4, 11 π /4]$ で1個ずつ、計2個
- $k = B$ :1個
- $k < B$ :0個

したがって、ちょうど2個になるのは $B < k < 0$ または $A < k < C$ のときである。

検算: $k = - 1$ とすると、 $B \approx - 0.7071 \times e^{5.50} \approx - 173$ なので $B < - 1 < 0$ であり、 $π < x < 2 π$ で $sin x < 0$ だから、解は $(π, 7 π /4)$ と $(7 π /4, 2 π)$ に1個ずつある。 $A \approx 0.7071 \times e^{2.356} \approx 7.46$ 、 $C \approx 0.7071 \times e^{8.639} \approx 3860$ なので $k = 100$ は $A < k < C$ を満たし、後半の2区間で1個ずつ解をもつ。

よって求める範囲は
$- \frac{2}{2} e^{7 π /4} < k < 0, \frac{2}{2} e^{3 π /4} < k < \frac{2}{2} e^{11 π /4}$

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