微分法の問題

導関数を求める。 積の微分法と合成関数の微分法より
$$f^{\prime }(x)={\left(e^{\cos x}\right)}^{\prime }\sin x+e^{\cos x}(\sin x{)}^{\prime }=-\sin x{e}^{\cos x}\cdot \sin x+e^{\cos x}\cos x$$
となる。${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ を用いると
$$f^{\prime }(x)=e^{\cos x}\left(\cos x-{\sin }^{2}x\right)=e^{\cos x}\left({\cos }^{2}x+\cos x-1\right)$$
である。

符号を調べる。 $e^{\cos x}>0$ なので、$f^{\prime }(x)$ の符号は $g(t)=t^2+t-1$（ただし $t=\cos x$）の符号と一致する。$g(t)=0$ の解は $t=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ である。$-1\leqq t\leqq 1$ の範囲にあるのは $t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ だけである。この値を $c$ とおくと $0<c<1$ である。

$0\leqq x\leqq \pi$ で $t=\cos x$ は $1$ から $-1$ まで単調に減少する。よって $\cos \alpha =c$ を満たす $\alpha (0<\alpha <\pi )$ がただ1つ存在する。
- $0\leqq x<\alpha$ では $\cos x>c$ なので $g(\cos x)>0$、すなわち $f^{\prime }(x)>0$
- $\alpha <x\leqq \pi$ では $\cos x<c$ なので $g(\cos x)<0$、すなわち $f^{\prime }(x)<0$

したがって $f(x)$ は $x=\alpha$ で最大となる。

最大値を計算する。 $c$ は $c^2+c-1=0$ を満たすので、$1-c^2=c$ である。よって
$${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-c^2=c$$
となる。$0<\alpha <\pi$ より $\sin \alpha >0$ なので $\sin \alpha =\sqrt{c}$ である。ゆえに
$$f(\alpha )=e^c\sqrt{c}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{e}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$
となる。なお $f(0)=f(\pi )=0$ であり、これより大きい。

よって最大値は $\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{e}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ である。

$f^{\prime }(x)=-\sin x{e}^{\cos x}\cdot \sin x+e^{\cos x}\cos x=e^{\cos x}(\cos x-{\sin }^{2}x)=e^{\cos x}({\cos }^{2}x+\cos x-1)$。
$t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ とおくと、${\cos }^{2}x+\cos x-1=0$ の $-1\le \cos x\le 1$ における解は $\cos x=t$ のみ（もう一方の解 $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<-1$ は不適）。
$\cos x>t$ のとき $f^{\prime }(x)>0$、$\cos x<t$ のとき $f^{\prime }(x)<0$ である。$0\le x\le \pi$ で $\cos x$ は単調減少なので、$\cos \alpha =t$ となる $\alpha$ で $f$ は増加から減少に変わり、ここで最大となる。
$t^2=1-t$ より ${\sin }^2\alpha =1-t^2=t$。$\sin \alpha >0$ なので $\sin \alpha =\sqrt{t}$。
よって最大値は $f(\alpha )=e^t\sqrt{t}=e^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$。
検算：$t\approx 0.618$、$e^{0.618}\approx 1.855$、$\sqrt{0.618}\approx 0.786$ なので積は約 $1.458$。端点では $f(0)=f(\pi )=0$ であり、整合する。