微分法の問題

合成関数の微分法より $({\sin }^{3}x{)}^{\prime }=3{\sin }^{2}x\cos x$、また $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ なので、積の微分法により
$$f^{\prime }(x)=3{\sin }^{2}x\cos x\cdot \cos x+{\sin }^{3}x\cdot (-\sin x)=3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x-{\sin }^{4}x={\sin }^{2}x(3{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)$$
である。

$0<x<\frac{\pi }{2}$ では ${\sin }^{2}x>0$, ${\cos }^{2}x>0$ なので、$f^{\prime }(x)$ の符号は
$$3{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x(3-{\tan }^{2}x)$$
の符号、すなわち $3-{\tan }^{2}x$ の符号と一致する。$0<x<\frac{\pi }{2}$ で $\tan x>0$ は増加するから
- $0<x<\frac{\pi }{3}$ のとき $\tan x<\sqrt{3}$ より $f^{\prime }(x)>0$
- $\frac{\pi }{3}<x<\frac{\pi }{2}$ のとき $\tan x>\sqrt{3}$ より $f^{\prime }(x)<0$

よって $f(x)$ は $0\leqq x\leqq \frac{\pi }{3}$ で増加し、$\frac{\pi }{3}\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ で減少するので、$x=\frac{\pi }{3}$ で最大となる。最大値は
$$f\left(\frac{\pi }{3}\right)={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{16}$$
である（なお $f(0)=f\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$）。

$0\le x\le \frac{\pi }{2}$ では $\sin x\ge 0,\cos x\ge 0$ なので $f(x)\ge 0$。$f(x{)}^2={\sin }^{6}x{\cos }^{2}x=s^3(1-s)$（$s={\sin }^{2}x\in [0,1]$）。$g(s)=s^3-s^4$ とすると $g^{\prime }(s)=3s^2-4s^3=s^2(3-4s)$ より $s=\frac{3}{4}$ で最大、$g(3/4)=\frac{27}{64}\cdot \frac{1}{4}=\frac{27}{256}$。\n\nよって $f$ の最大値は $\sqrt{\frac{27}{256}}=\frac{3\sqrt{3}}{16}$。このとき $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$、すなわち $x=\frac{\pi }{3}$ で、$f={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{16}$。\n\n検算: 端点 $x=0,\pi /2$ では $f=0$。$x=\pi /4$ では $f=\frac{1}{4}\approx 0.25$ で、$\frac{3\sqrt{3}}{16}\approx 0.325$ より小さい。