微分法の問題

逆関数の存在

$f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ なので、$f(x)$ はすべての実数で単調に増加する。よって逆関数 $g(x)$ が存在する。また $f^{\prime }(x)\ne 0$ なので、$g(x)$ は微分可能である。

$g(10)$ の値

$f(2)=8+2=10$ であり、$f$ は単調増加だから $f(x)=10$ を満たす $x$ は $x=2$ だけである。よって $g(10)=2$ である。

$g^{\prime }(10)$ の値

$y=g(x)$ とおくと $x=f(y)=y^3+y$ である。この両辺を $y$ で微分すると $\frac{dx}{dy}=3y^2+1$ となるので
$$g^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3y^2+1}$$
が成り立つ。$x=10$ のとき $y=2$ だから
$$g^{\prime }(10)=\frac{1}{3\cdot 4+1}=\frac{1}{13}$$
である。

$h^{\prime }(x)$ の計算

分子 $\{g(x){\}}^2$ を合成関数の微分法で微分すると $2g(x)g^{\prime }(x)$ になる。これと商の微分法により
$$h^{\prime }(x)=\frac{2g(x)g^{\prime }(x)\cdot x-\{g(x){\}}^2\cdot 1}{x^2}$$
である。

$x=10$ を代入

$g(10)=2$、$g^{\prime }(10)=\frac{1}{13}$ を代入すると
$$h^{\prime }(10)=\frac{2\cdot 2\cdot \frac{1}{13}\cdot 10-2^2}{10^2}=\frac{\frac{40}{13}-\frac{52}{13}}{100}=\frac{-\frac{12}{13}}{100}=-\frac{12}{1300}=-\frac{3}{325}$$

したがって $h^{\prime }(10)=-\frac{3}{325}$ である。

$f(2)=8+2=10$ より $g(10)=2$。逆関数の微分より $g^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(g(x))}=\frac{1}{3\{g(x){\}}^2+1}$ なので $g^{\prime }(10)=\frac{1}{13}$。
$h^{\prime }(x)=\frac{2g(x)g^{\prime }(x)\cdot x-\{g(x){\}}^2}{x^2}$ に $x=10$ を代入すると、
$h^{\prime }(10)=\frac{2\cdot 2\cdot \frac{1}{13}\cdot 10-4}{100}=\frac{\frac{40}{13}-\frac{52}{13}}{100}=-\frac{12}{1300}=-\frac{3}{325}$。
検算：$g(10)=2$ は $f(2)=10$ で確認済み。$f$ は $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ で単調増加なので逆関数が存在する。