微分法の問題

逆関数が存在することの確認

$f^{\prime }(x)=3x^2+2>0$ なので、$f(x)$ は実数全体で単調に増加する。また $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ であり、$f(x)$ は連続だから、値域は実数全体である。よって逆関数 $g(x)$ は実数全体で定義される。さらに $f^{\prime }(x)\ne 0$ なので、$g(x)$ は微分可能である。

$h^{\prime }(x)$ の計算

商の微分法と合成関数の微分法を使う。$u(x)=g(x^2+2)$ とおくと
$$u^{\prime }(x)=g^{\prime }(x^2+2)\cdot 2x$$
である。よって
$$h^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)\cdot x-u(x)\cdot 1}{x^2}=\frac{2x^2{g}^{\prime }(x^2+2)-g(x^2+2)}{x^2}$$
となる。

$x=2$ での値

$x=2$ のとき $x^2+2=6$ なので、$g(6)$ と $g^{\prime }(6)$ が必要である。

$g(6)=a$ とおくと $f(a)=6$ だから
$$a^3+2a+3=6\text{すなわち}{a}^3+2a-3=0$$
である。左辺は $(a-1)(a^2+a+3)=0$ と因数分解できる。$a^2+a+3={\left(a+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}>0$ なので、実数解は $a=1$ だけである。よって $g(6)=1$ である。

逆関数の微分法より、$y=f(x)$ のとき $g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ である。$f^{\prime }(1)=3+2=5$ だから
$$g^{\prime }(6)=\frac{1}{f^{\prime }(1)}=\frac{1}{5}$$
となる。

したがって
$$h^{\prime }(2)=\frac{2\cdot 2^2\cdot \frac{1}{5}-1}{2^2}=\frac{\frac{8}{5}-1}{4}=\frac{\frac{3}{5}}{4}=\frac{3}{20}$$
である。

答え: $h^{\prime }(2)=\frac{3}{20}$

$h(x)=\frac{g(x^2+2)}{x}$ を微分すると、$h^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x^2+2)\cdot 2x\cdot x-g(x^2+2)}{x^2}$ である。

$x=2$ のとき $x^2+2=6$ なので、$g(6)$ と $g^{\prime }(6)$ が必要になる。

$g(6)=t$ とおくと $f(t)=6$ より $t^3+2t-3=0$。$(t-1)(t^2+t+3)=0$ で、$t^2+t+3$ の判別式は $1-12<0$ なので実数解は $t=1$ のみ。よって $g(6)=1$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2$ より $f^{\prime }(1)=5$。逆関数の微分公式から $g^{\prime }(6)=\frac{1}{f^{\prime }(g(6))}=\frac{1}{f^{\prime }(1)}=\frac{1}{5}$。

したがって $h^{\prime }(2)=\frac{\frac{1}{5}\cdot 2\cdot 2\cdot 2-1}{4}=\frac{\frac{8}{5}-1}{4}=\frac{3}{20}$。

検算：$\frac{d}{dx}g(x^2+2)=g^{\prime }(6)\cdot 4=\frac{4}{5}$ なので、商の微分は $\left(\frac{4}{5}\cdot 2-1\cdot 1\right)/4=\frac{3}{20}$。一致する。