微分法の問題

逆関数が存在することの確認

$f^{\prime }(x)=3x^2+2>0$ なので、$f(x)$ はすべての実数で単調に増加します。また $x\to \infty$ のとき $f(x)\to \infty$、$x\to -\infty$ のとき $f(x)\to -\infty$ なので、$f(x)$ の値域は実数全体です。したがって逆関数 $g(x)$ は実数全体で定義され、微分可能です。

$g(2)$ と $g^{\prime }(2)$ を求める

$f(1)=1+2-1=2$ なので $g(2)=1$ です。

$g(f(x))=x$ の両辺を $x$ で微分すると、合成関数の微分法により
$$g^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x)=1$$
となります。ここで $x=1$ とすると、$f(1)=2$、$f^{\prime }(1)=3\cdot 1^2+2=5$ より
$$g^{\prime }(2)\cdot 5=1\text{よって}{g}^{\prime }(2)=\frac{1}{5}$$

$h^{\prime }(x)$ を求める

商の微分法を使います。分子 $g(x^2+1)$ の導関数は、合成関数の微分法により $\{g(x^2+1){\}}^{\prime }=g^{\prime }(x^2+1)\cdot 2x$ です。よって
$$h^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x^2+1)\cdot 2x\cdot x-g(x^2+1)\cdot 1}{x^2}=\frac{2x^2{g}^{\prime }(x^2+1)-g(x^2+1)}{x^2}$$

$x=1$ を代入する

$x=1$ のとき $x^2+1=2$ なので
$$h^{\prime }(1)=\frac{2\cdot \frac{1}{5}-1}{1}=\frac{2}{5}-1=-\frac{3}{5}$$

答えは $-\frac{3}{5}$ です。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2>0$ より $f$ は単調増加で逆関数 $g$ が存在する。
$g(2)=a$ とおくと $f(a)=2$、すなわち $a^3+2a-3=0$。$a=1$ のとき $1+2-3=0$ なので $a=1$ であり、$f$ が単調増加なので解はこれだけである。よって $g(2)=1$。
$g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(g(y))}$ より $g^{\prime }(2)=\frac{1}{f^{\prime }(1)}=\frac{1}{5}$。
$h(x)=\frac{g(x^2+1)}{x}$ を微分すると
$$h^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x^2+1)\cdot 2x\cdot x-g(x^2+1)}{x^2}.$$
$x=1$ を代入すると
$$h^{\prime }(1)=\frac{\frac{1}{5}\cdot 2-1}{1}=-\frac{3}{5}.$$
検算：$h^{\prime }(x)=\frac{2x{g}^{\prime }(x^2+1)}{x}-\frac{g(x^2+1)}{x^2}=2g^{\prime }(x^2+1)-\frac{g(x^2+1)}{x^2}$。$x=1$ で $2\cdot \frac{1}{5}-1=-\frac{3}{5}$ となり一致する。