微分法の問題

$f(x)=x+2\cos x(0\leqq x\leqq 2\pi )$ とおきます。方程式の実数解の個数は、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=k$ の共有点の個数に等しくなります。

増減を調べる

$$f^{\prime }(x)=1-2\sin x$$
です。$f^{\prime }(x)=0$ とすると $\sin x=\frac{1}{2}$ なので、$0\leqq x\leqq 2\pi$ では $x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ です。

• $0\leqq x<\frac{\pi }{6}$ では $\sin x<\frac{1}{2}$ なので $f^{\prime }(x)>0$（増加）
• $\frac{\pi }{6}<x<\frac{5\pi }{6}$ では $\sin x>\frac{1}{2}$ なので $f^{\prime }(x)<0$（減少）
• $\frac{5\pi }{6}<x\leqq 2\pi$ では $\sin x<\frac{1}{2}$ なので $f^{\prime }(x)>0$（増加）

主な値を求める

$$f(0)=0+2\cdot 1=2$$
$$f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}(\text{極大値})$$
$$f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}+2\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}(\text{極小値})$$
$$f(2\pi )=2\pi +2$$

大小関係を確かめる

$\pi \fallingdotseq 3.14,\sqrt{3}\fallingdotseq 1.73$ を用いると、
$$\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}\fallingdotseq 0.89,f(0)=2,\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}\fallingdotseq 2.26,2\pi +2\fallingdotseq 8.28$$
です。したがって
$$\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}<2<\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}<2\pi +2$$
が成り立ちます。

共有点の個数を数える

区間ごとに、$f(x)$ がとる値は次のとおりです。

• $\left[0,\frac{\pi }{6}\right]$：$2$ から $\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$ まで増加
• $\left[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$：$\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$ から $\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}$ まで減少
• $\left[\frac{5\pi }{6},2\pi \right]$：$\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}$ から $2\pi +2$ まで増加

これをもとに、$k$ の値で場合を分けます。

• $k<\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}$：$0$ 個
• $k=\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}$：$x=\frac{5\pi }{6}$ の $1$ 個
• $\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}<k<2$：中央の区間で $1$ 個、右の区間で $1$ 個となり、計 $2$ 個。左の区間では $f(x)\geqq 2$ なので解はありません。
• $k=2$：$x=0$ と、中央の区間で $1$ 個、右の区間で $1$ 個となり、計 $3$ 個
• $2<k<\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$：左・中央・右の各区間で $1$ 個ずつとなり、計 $3$ 個
• $k=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$：$x=\frac{\pi }{6}$ と、右の区間で $1$ 個となり、計 $2$ 個
• $\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}<k\leqq 2\pi +2$：右の区間で $1$ 個
• $k>2\pi +2$：$0$ 個

以上より、異なる実数解がちょうど $3$ 個となる $k$ の値の範囲は
$$2\leqq k<\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$$
です。

$f(x)=x+2\cos x$ とおくと、$f^{\prime }(x)=1-2\sin x$。$0\leqq x\leqq 2\pi$ で $f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$。増減は、$[0,\frac{\pi }{6}]$ で増加、$[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}]$ で減少、$[\frac{5\pi }{6},2\pi ]$ で増加。

各値は次のとおり。
$f(0)=2$
$f(\frac{\pi }{6})=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$(極大、約 2.256)
$f(\frac{5\pi }{6})=\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}$(極小、約 0.886)
$f(2\pi )=2\pi +2$(約 8.28)

方程式の解の個数は、$y=f(x)$ のグラフと直線 $y=k$ の共有点の個数に等しい。

• 第1区間 $[0,\frac{\pi }{6}]$ では値域が $[2,\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}]$ で、$k=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$ のときの共有点は $x=\frac{\pi }{6}$ のみ。
• 第2区間 $[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}]$ では値域が $[\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3},\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}]$。
• 第3区間 $[\frac{5\pi }{6},2\pi ]$ では値域が $[\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3},2\pi +2]$。

$2\leqq k<\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$ のとき、第1区間に1個、第2区間に1個、第3区間に1個、合計3個の解をもつ($k=2$ では第1区間の解が $x=0$)。

$k<2$(かつ $k>\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}$)のときは第1区間に解がなく、2個。
$k=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$ のときは $x=\frac{\pi }{6}$ と第3区間の1個で、2個。

検算: $k=2$ では $x+2\cos x=2$ の解は $x=0$。第2区間では $f(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}\approx 1.57<2<f(\frac{\pi }{6})$ なので1個。第3区間では $f(\frac{5\pi }{6})<2<f(2\pi )$ なので1個。合計3個で確認できた。

よって $2\leqq k<\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$。