微分法の問題

$f(x)=x\log x(x>0)$ とおくと、方程式の実数解の個数は、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=k$ の共有点の個数に等しい。

積の微分法により
$$f^{\prime }(x)=1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1$$
である。$f^{\prime }(x)=0$ とすると $\log x=-1$ より $x=\frac{1}{e}$。$\log x$ は増加関数なので
- $0<x<\frac{1}{e}$ で $f^{\prime }(x)<0$（減少）
- $x>\frac{1}{e}$ で $f^{\prime }(x)>0$（増加）

である。よって $f(x)$ は $x=\frac{1}{e}$ で最小となり、最小値は
$$f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\log \frac{1}{e}=-\frac{1}{e}$$
である。

また、端の様子は
$$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$$
である（$x\to \infty$ のとき $x\to \infty$, $\log x\to \infty$）。なお $0<x<1$ では $\log x<0$ より $f(x)<0$、$f(1)=0$ である。

したがって $y=f(x)$ のグラフは、$x\to +0$ で $0$ に近づきながら $x=\frac{1}{e}$ まで減少して $-\frac{1}{e}$ に達し、その後は増加して $\infty$ に向かう。

これより直線 $y=k$ との共有点の個数は
- $k<-\frac{1}{e}$ のとき $0$ 個
- $k=-\frac{1}{e}$ のとき $1$ 個
- $-\frac{1}{e}<k<0$ のとき $2$ 個（$0<x<\frac{1}{e}$ と $\frac{1}{e}<x<1$ に $1$ 個ずつ）
- $k\geqq 0$ のとき $1$ 個（$x\geqq 1$ の範囲に $1$ 個。$x\to +0$ での値 $0$ は実際にはとらない）

となる。よって求める範囲は
$$-\frac{1}{e}<k<0$$

$g(x)=x\log x(x>0)$ とおく。$g^{\prime }(x)=\log x+1$ より $g^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=\frac{1}{e}$。$0<x<\frac{1}{e}$ で $g^{\prime }<0$（減少）、$x>\frac{1}{e}$ で $g^{\prime }>0$（増加）。極小値（最小値）は $g\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}$。また ${\lim }_{x\to +0}g(x)=0$、$g(1)=0$、${\lim }_{x\to \infty }g(x)=\infty$。$0<x<\frac{1}{e}$ では $g$ は $0$ から $-\frac{1}{e}$ まで単調に減少し（$x\to +0$ の値 0 は取らない）、$x>\frac{1}{e}$ では $-\frac{1}{e}$ から $\infty$ まで単調に増加する。直線 $y=k$ との共有点の個数は、$k<-\frac{1}{e}$ のとき 0 個、$k=-\frac{1}{e}$ のとき 1 個、$-\frac{1}{e}<k<0$ のとき 2 個（$0<x<\frac{1}{e}$ に 1 個、$x>\frac{1}{e}$ に 1 個）、$k=0$ のとき 1 個（$x=1$ のみ。$x\to +0$ の極限は取らない）、$k>0$ のとき 1 個。よって求める範囲は $-\frac{1}{e}<k<0$。