微分法の問題

$g(x)=e^x-a(x+2)$ とおく。すべての実数 $x$ で $g(x)\ge 0$ となる条件を求める。$a$ の符号で場合を分ける。

(i) $a<0$ のとき

$x=-2+\frac{1}{a}$ とすると $a(x+2)=1$ である。$\frac{1}{a}<0$ なので $x<-2<0$ となり、$e^x<1$ である。

よって $g(x)=e^x-1<0$ となり、不等式が成り立たない $x$ が存在する。したがって不適である。

(ii) $a=0$ のとき

$g(x)=e^x>0$ がすべての $x$ で成り立つので、適する。

(iii) $a>0$ のとき

$g^{\prime }(x)=e^x-a$ であり、$g^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=\log a$ のときである。

• $x<\log a$ では $g^{\prime }(x)<0$ なので、$g(x)$ は減少する。
• $x>\log a$ では $g^{\prime }(x)>0$ なので、$g(x)$ は増加する。

よって $g(x)$ は $x=\log a$ で最小値をとる。その値は
$$g(\log a)=a-a(\log a+2)=-a\log a-a=-a(\log a+1)$$
である。

すべての $x$ で $g(x)\ge 0$ となる条件は、最小値が $0$ 以上であること、すなわち $-a(\log a+1)\ge 0$ である。

$a>0$ より、これは $\log a+1\le 0$、つまり $\log a\le -1$ と同値である。よって $0<a\le \frac{1}{e}$ となる。

まとめ

(i)〜(iii) より、求める範囲は
$$0\le a\le \frac{1}{e}$$
である。

(参考)$a=\frac{1}{e}$ のとき、直線 $y=\frac{1}{e}(x+2)$ は曲線 $y=e^x$ の点 $\left(-1,\frac{1}{e}\right)$ における接線になっている。

$a<0$ のとき、$x=-2-t$（$t>0$）とすると右辺は $-at>0$ で、$t\to \infty$ で $-at\to \infty$、左辺 $e^{-2-t}\to 0$ となるので不成立。

$a=0$ のとき、$e^x>0$ より常に成立。

$a>0$ のとき、
- $x\le -2$ では右辺 $\le 0<e^x$ なので常に成立。
- $x>-2$ では $x+2>0$ だから、条件は $a\le \frac{e^x}{x+2}$ と同値。$f(x)=\frac{e^x}{x+2}$ とおくと、$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x+2)-e^x}{(x+2{)}^2}=\frac{e^x(x+1)}{(x+2{)}^2}$。$x<-1$ で $f^{\prime }<0$、$x>-1$ で $f^{\prime }>0$ なので、$x=-1$ で最小値 $f(-1)=e^{-1}$ をとる。よって $a\le e^{-1}$。

検算：$a=1/e$ のとき $x=-1$ で $e^{-1}=\frac{1}{e}\cdot 1$ となり等号成立。直線 $y=\frac{1}{e}(x+2)$ は $y=e^x$ の $x=-1$ での接線（$e^x$ の $x=-1$ での接線は $y=e^{-1}(x+1)+e^{-1}=e^{-1}(x+2)$）で、$e^x$ は下に凸なので常に成り立つ。

以上より $0\le a\le \frac{1}{e}$。