この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

微分法の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学III 微分法

$a$ を実数の定数とする。 $0 ≦ x ≦ π$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、不等式 $sin x ≧ a x (π - x)$ が成り立つような $a$ の最大値を求めよ。

この問題で使うもの

増減表と極値（説明と入口の問題）
三角関数の導関数（説明と入口の問題）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（説明と入口の問題）
微分を使った不等式の証明（説明と入口の問題）
多項式の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（49 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$x = 0$ の近くで両辺がどう振る舞うかを調べて $a$ の上限の候補を見つけ、その値で不等式が実際に成り立つかを確かめよう。

ヒント 2

$g (x) = sin x - a x (π - x)$ とすると $g (0) = 0$ 、 $g^{'} (0) = 1 - aπ$ である。 $a = \frac{1}{π}$ のときは $h (x) = sin x - x + \frac{x ^{2}}{π}$ が $h (π - x) = h (x)$ を満たすので、 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ だけ調べればよい。

ヒント 3

$h^{'} (x) = cos x - 1 + \frac{2 x}{π}$ は $h^{'} (0) = h^{'} (\frac{π}{2}) = 0$ を満たし、 $h^{''} (x) = - sin x + \frac{2}{π}$ は $0 < x < \frac{π}{2}$ でちょうど 1 回だけ符号が正から負に変わる。ここから $h^{'} (x)$ の符号を決めよう。

答えと解説

答えを見る

\frac{1}{π}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

(i) $a > \frac{1}{π}$ のときは成り立たないこと

$g (x) = sin x - a x (π - x) = sin x - aπ x + a x^{2}$ とおくと、
$g^{'} (x) = cos x - aπ + 2 a x, g (0) = 0, g^{'} (0) = 1 - aπ < 0$
である。 $g^{'} (x)$ は連続なので、ある正の数 $δ$ があって $0 ≦ x < δ$ で $g^{'} (x) < 0$ となる。よって $g (x)$ はこの範囲で減少し、 $0 < x < δ$ で $g (x) < g (0) = 0$ となる。したがって不等式は成り立たない。

(ii) $a = \frac{1}{π}$ のとき成り立つこと

$h (x) = sin x - \frac{x ( π - x )}{π} = sin x - x + \frac{x ^{2}}{π}$
とおく。 $sin (π - x) = sin x$ であり、 $x (π - x)$ は $x$ を $π - x$ に置き換えても変わらないので $h (π - x) = h (x)$ である。よって $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で $h (x) ≧ 0$ を示せばよい。

$h^{'} (x) = cos x - 1 + \frac{2 x}{π}, h^{''} (x) = - sin x + \frac{2}{π}$
である。 $0 < \frac{2}{π} < 1$ であり、 $sin x$ は $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で $0$ から $1$ まで単調に増加するから、 $sin α = \frac{2}{π}$ を満たす $α (0 < α < \frac{π}{2})$ がただ 1 つある。そして
$0 ≦ x < α で h^{''} (x) > 0, α < x ≦ \frac{π}{2} で h^{''} (x) < 0$
となる。

また $h^{'} (0) = 1 - 1 + 0 = 0$ 、 $h^{'} (\frac{π}{2}) = 0 - 1 + 1 = 0$ である。 $h^{'} (x)$ は $0 ≦ x ≦ α$ で増加するから、 $0 < x ≦ α$ で $h^{'} (x) > h^{'} (0) = 0$ 。さらに $α ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で減少して $h^{'} (\frac{π}{2}) = 0$ になるから、 $α ≦ x < \frac{π}{2}$ で $h^{'} (x) > 0$ 。

したがって $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で $h (x)$ は増加し、 $h (x) ≧ h (0) = 0$ である。対称性から $0 ≦ x ≦ π$ で $h (x) ≧ 0$ 、すなわち
$sin x ≧ \frac{1}{π} x (π - x)$
が成り立つ。

(iii) $a < \frac{1}{π}$ のとき

$0 ≦ x ≦ π$ で $x (π - x) ≧ 0$ なので、 $a x (π - x) ≦ \frac{1}{π} x (π - x) ≦ sin x$ となり、不等式は成り立つ。

以上より、不等式がすべての $x$ で成り立つ $a$ の範囲は $a ≦ \frac{1}{π}$ であり、求める最大値は $\frac{1}{π}$ である。

別解

$x = 0, π$ では両辺とも $0$ なので、任意の $a$ で成り立つ。 $0 < x < π$ では $x (π - x) > 0$ だから、不等式は $a ≦ h (x) = \frac{s i n x}{x ( π - x )}$ と同値。したがって、 $a$ の最大値は $0 < x < π$ における $h (x)$ の下限である。\n\n必要条件: $x \to + 0$ のとき $h (x) = \frac{s i n x}{x} \cdot \frac{1}{π - x} \to 1 \cdot \frac{1}{π} = \frac{1}{π}$ 。よって $a ≦ \frac{1}{π}$ が必要。\n\n十分性: $a = \frac{1}{π}$ のとき、 $f (x) = sin x - \frac{x ( π - x )}{π} = sin x - x + \frac{x ^{2}}{π}$ $(0 ≦ x ≦ π)$ が $f (x) ≧ 0$ であることを示す。\n\n $f^{'} (x) = cos x - 1 + \frac{2 x}{π}$ 、 $f^{''} (x) = - sin x + \frac{2}{π}$ 。 $f (0) = f (π) = 0$ 、 $f^{'} (0) = 0$ 、 $f^{'} (π) = - 1 - 1 + 2 = 0$ 、 $f^{'} (\frac{π}{2}) = 0 - 1 + 1 = 0$ 。\n\n $sin α = \frac{2}{π}$ を満たす $α$ $(0 < α < \frac{π}{2})$ をとると、 $f^{''} (x) > 0$ $(0 ≦ x < α, π - α < x ≦ π)$ 、 $f^{''} (x) < 0$ $(α < x < π - α)$ 。\n- $[0, α]$ で $f^{'}$ は増加し $f^{'} (0) = 0$ なので $f^{'} (α) > 0$ 。\n- $[α, π - α]$ で $f^{'}$ は減少し、 $f^{'} (\frac{π}{2}) = 0$ なので、 $α ≦ x < \frac{π}{2}$ で $f^{'} > 0$ 、 $\frac{π}{2} < x ≦ π - α$ で $f^{'} < 0$ 。\n- $[π - α, π]$ で $f^{'}$ は増加し $f^{'} (π) = 0$ なので $f^{'} < 0$ （ $x < π$ ）。\n\nよって $f$ は $0 < x < \frac{π}{2}$ で増加、 $\frac{π}{2} < x < π$ で減少。 $f (0) = f (π) = 0$ より $0 ≦ x ≦ π$ で $f (x) ≧ 0$ 。したがって $a = \frac{1}{π}$ で不等式は成り立つ。\n\n以上より $a$ の最大値は $\frac{1}{π}$ 。\n\n検算: $x = \frac{π}{2}$ では $sin x = 1 ≧ \frac{1}{π} \cdot \frac{π ^{2}}{4} = \frac{π}{4} \approx 0.785$ で成り立つ。 $x = 0.1$ では $sin 0.1 \approx 0.0998 ≧ \frac{0.1 \times 3.0416}{π} \approx 0.0968$ で成り立つ。

微分法の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題