微分法の問題

方針：差の関数を作り、その最小値を調べる。

左辺から右辺を引いた差の関数を
$$f(x)=e^x-2x-k$$
とおく。すべての実数 $x$ に対して $e^x\geqq 2x+k$ が成り立つことは、すべての実数 $x$ に対して $f(x)\geqq 0$ が成り立つこと、つまり $f(x)$ の最小値が $0$ 以上であることと同じである。

手順1：導関数を求める。
$$f^{\prime }(x)=e^x-2$$

手順2：導関数の符号を調べる。
$f^{\prime }(x)=0$ とすると $e^x=2$ より $x=\log 2$ である。$e^x$ は増加関数なので、
- $x<\log 2$ のとき $e^x<2$ より $f^{\prime }(x)<0$
- $x>\log 2$ のとき $e^x>2$ より $f^{\prime }(x)>0$

よって増減表は次のようになる。
$$\begin{array}{cccc}x& \cdots & \log 2& \cdots \\ f^{\prime }(x)& -& 0& +\\ f(x)& \searrow & \text{極小}& \nearrow \end{array}$$

手順3：最小値を求める。
$f(x)$ は $x=\log 2$ で最小となり、$e^{\log 2}=2$ より
$$f(\log 2)=2-2\log 2-k$$

手順4：最小値 $\geqq 0$ の条件を立てる。
$$2-2\log 2-k\geqq 0⟺k\leqq 2-2\log 2$$

したがって、求める $k$ の最大値は $2-2\log 2$ である。（このとき $x=\log 2$ で等号が成り立つ。）

$f(x)=e^x-2x$ とおくと、すべての実数 $x$ で $f(x)\geqq k$ となる $k$ の最大値は $f$ の最小値に等しい。
$f^{\prime }(x)=e^x-2=0$ より $x=\log 2$。
$x<\log 2$ では $f^{\prime }(x)<0$、$x>\log 2$ では $f^{\prime }(x)>0$ なので、$f$ は $x=\log 2$ で最小となる。
最小値は $f(\log 2)=e^{\log 2}-2\log 2=2-2\log 2$。
よって $k\leqq 2-2\log 2$ であり、最大値は $2-2\log 2$。
検算: $x=\log 2$ のとき $e^x=2$、$2x+k=2\log 2+2-2\log 2=2$ で等号が成立する。また $x=0$ では $1\geqq 2-2\log 2\approx 0.614$ で成り立つ。