微分法の問題

方針：左辺を関数 $f(x)=x-\log x$ とおき、$x>0$ における増減を調べて最小値を求めます。すべての $x>0$ で $f(x)\geqq k$ が成り立つことは、「$f(x)$ の最小値 $\geqq k$」と同じことです。

手順1：関数をおく
$$f(x)=x-\log x(x>0)$$

手順2：微分する
$$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$$
$x>0$ なので分母 $x$ は正です。よって $f^{\prime }(x)$ の符号は $x-1$ の符号と一致し、$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=1$ のときです。

手順3：増減表をつくる
- $0<x<1$ のとき $f^{\prime }(x)<0$ なので、$f(x)$ は減少する。
- $x=1$ のとき $f^{\prime }(x)=0$ で、$f(1)=1-\log 1=1-0=1$。
- $x>1$ のとき $f^{\prime }(x)>0$ なので、$f(x)$ は増加する。

$$\begin{array}{ccccc}x& 0& \cdots & 1& \cdots \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +\\ f(x)& & \searrow & 1& \nearrow \end{array}$$

したがって、$f(x)$ は $x=1$ で最小値 $1$ をとります。すなわち、すべての $x>0$ に対して
$$x-\log x\geqq 1$$
が成り立ち、等号は $x=1$ のときに成り立ちます。

手順4：$k$ の条件を読み取る
すべての $x>0$ で $f(x)\geqq k$ となるための条件は、$f(x)$ の最小値が $k$ 以上であること、つまり
$$1\geqq k$$
です。$k>1$ とすると、$x=1$ のとき $f(1)=1<k$ となって不等式が成り立ちません。

よって、$k$ の最大値は $1$ です。

$f(x)=x-\log x$ ($x>0$) とおく。$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$ なので、$0<x<1$ で $f^{\prime }(x)<0$、$x>1$ で $f^{\prime }(x)>0$。よって $f(x)$ は $x=1$ で最小値 $f(1)=1-\log 1=1$ をとる。
不等式がすべての $x>0$ で成り立つ条件は $k\leqq f(x)$ の最小値、すなわち $k\leqq 1$。したがって $k$ の最大値は $1$。
検算：$x=2$ のとき $2-\log 2\approx 1.307\geqq 1$、$x=0.5$ のとき $0.5+0.693=1.193\geqq 1$。$x=1$ で等号が成り立つので $k=1$ は達成される。