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微分法の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学III 微分法

$x > 0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、不等式
$lo g x \leq a x$
が成り立つような実数 $a$ の最小値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

この問題で使うもの

積と商の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
増減表と極値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（36 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$x > 0$ を利用して文字 $a$ を分離し、「 $a \geq (x の関数)$ がすべての $x > 0$ で成り立つ」という形に直してみましょう。

ヒント 2

$f (x) = \frac{lo g x}{x}$ とおくと、条件は「 $a \geq f (x)$ の最大値」です。 $f^{'} (x)$ を計算し、符号を調べましょう。

ヒント 3

$f^{'} (x) = \frac{2 - lo g x}{2 x x}$ となります。 $f^{'} (x) = 0$ となるのは $x = e^{2}$ で、その前後で $f^{'} (x)$ の符号は正から負に変わります。

答えと解説

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\frac{2}{e}

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解説を読む

$x > 0$ のとき $x > 0$ なので、不等式の両辺を $x$ で割ると
$\frac{lo g x}{x} \leq a$
となります。そこで
$f (x) = \frac{lo g x}{x} = x^{- \frac{1}{2}} lo g x (x > 0)$
とおきます。すべての $x > 0$ で $f (x) \leq a$ が成り立つことは、 $f (x)$ の最大値が $a$ 以下であることと同じです。

微分する。 積の微分法より
$f^{'} (x) = - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} lo g x + x^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{x} = x^{- \frac{3}{2}} (1 - \frac{1}{2} lo g x) = \frac{2 - lo g x}{2 x x}$
です。 $x > 0$ では分母 $2 x x > 0$ なので、 $f^{'} (x)$ の符号は $2 - lo g x$ の符号と一致します。

$0 < x < e^{2}$ のとき $lo g x < 2$ なので $f^{'} (x) > 0$
$x = e^{2}$ のとき $f^{'} (x) = 0$
$x > e^{2}$ のとき $lo g x > 2$ なので $f^{'} (x) < 0$

よって、 $f (x)$ は $0 < x \leq e^{2}$ で増加し、 $x \geq e^{2}$ で減少します。したがって $f (x)$ は $x = e^{2}$ で最大となり、最大値は
$f (e^{2}) = \frac{lo g e ^{2}}{e ^{2}} = \frac{2}{e}$
です。

結論。 不等式がすべての $x > 0$ で成り立つための条件は $a \geq \frac{2}{e}$ です。実際、 $a = \frac{2}{e}$ のときもすべての $x > 0$ で $f (x) \leq \frac{2}{e}$ が成り立つので、条件を満たします。

したがって、求める $a$ の最小値は $\frac{2}{e}$ です。

別解

$x > 0$ で $a \geq \frac{lo g x}{x}$ が常に成り立つ条件を考える。 $f (x) = \frac{lo g x}{x}$ とおくと、
$f^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x} x - lo g x \cdot \frac{1}{2 x}}{x} = \frac{2 - lo g x}{2 x x}$ 。
よって $0 < x < e^{2}$ で $f^{'} > 0$ 、 $x > e^{2}$ で $f^{'} < 0$ となり、 $x = e^{2}$ で最大値をとる。
$f (e^{2}) = \frac{2}{e}$ 。
また $x \to + 0$ で $f \to - \infty$ 、 $x \to \infty$ で $f \to 0$ なので、最大値は $\frac{2}{e}$ である。
したがって $a \geq \frac{2}{e}$ が必要十分で、最小値は $\frac{2}{e}$ 。
検算： $a = 2/ e$ 、 $x = e^{2}$ のとき、左辺 $= 2$ 、右辺 $= \frac{2}{e} \cdot e = 2$ で等号が成立する。

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