微分法の問題

$x\geqq 0$ において
$$g(x)=\log (1+x)-\frac{x}{1+ax}$$
とおく（$a>0$ より $1+ax>0$）。$g(0)=0$ である。

${\left(\frac{x}{1+ax}\right)}^{\prime }=\frac{(1+ax)-ax}{(1+ax{)}^2}=\frac{1}{(1+ax{)}^2}$ なので
$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+ax{)}^2}=\frac{(1+ax{)}^2-(1+x)}{(1+x)(1+ax{)}^2}=\frac{a^2{x}^2+(2a-1)x}{(1+x)(1+ax{)}^2}=\frac{x\{a^{2}x+(2a-1)\}}{(1+x)(1+ax{)}^2}$$
である。$x>0$ では $\frac{x}{(1+x)(1+ax{)}^2}>0$ なので、$g^{\prime }(x)$ の符号は $a^{2}x+2a-1$ の符号と一致する。

(i) $a\geqq \frac{1}{2}$ のとき
$x>0$ で $a^{2}x+2a-1\geqq a^{2}x>0$ なので $g^{\prime }(x)>0$。よって $g(x)$ は $x\geqq 0$ で増加し、$x>0$ で $g(x)>g(0)=0$。したがって不等式はすべての $x>0$ で成り立つ。

(ii) $0<a<\frac{1}{2}$ のとき
$c=\frac{1-2a}{a^2}>0$ とおくと、$0<x<c$ で $a^{2}x+2a-1<0$、すなわち $g^{\prime }(x)<0$。よって $g(x)$ は $0\leqq x\leqq c$ で減少し、$0<x\leqq c$ で $g(x)<g(0)=0$。したがって、たとえば $x=c$ で不等式は成り立たない。

以上より、求める $a$ の値の範囲は
$$a\geqq \frac{1}{2}$$
である。

$F(x)=\log (1+x)-\frac{x}{1+ax}$（$x\ge 0$）とおくと $F(0)=0$。$F^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+ax{)}^2}=\frac{(1+ax{)}^2-(1+x)}{(1+x)(1+ax{)}^2}=\frac{x(a^{2}x+2a-1)}{(1+x)(1+ax{)}^2}$。\n\n(i) $a\ge \frac{1}{2}$ のとき: $x>0$ で $a^{2}x+2a-1>0$（$a>0$ なので $a^{2}x>0$、$2a-1\ge 0$）。よって $F^{\prime }(x)>0$ で $F$ は $x\ge 0$ で狭義単調増加、$x>0$ で $F(x)>F(0)=0$。不等式は成り立つ。\n\n(ii) $0<a<\frac{1}{2}$ のとき: $2a-1<0$ なので、$0<x<\frac{1-2a}{a^2}$ で $F^{\prime }(x)<0$。この区間で $F$ は減少し $F(x)<F(0)=0$ となり、不等式は成り立たない。\n\nよって求める範囲は $a\ge \frac{1}{2}$。\n\n検算: $a=\frac{1}{2}$、$x=1$ で左辺 $\log 2\approx 0.693$、右辺 $\frac{1}{1.5}\approx 0.667$ で成立。$a=0.4$、$x=1$ では $F^{\prime }$ の符号が負の区間 $0<x<3.75$ にあたり、$x=1$ で $\log 2=0.693$、右辺 $1/1.4\approx 0.714$ で不成立。