微分法の問題

$y=\log x$ より $y^{\prime }=\frac{1}{x}$ なので、点 $\mathrm{P}(t,\log t)$ における接線の傾きは $\frac{1}{t}$ である。

接線 $\ell$ の方程式は
$$y-\log t=\frac{1}{t}(x-t)\text{すなわち}y=\frac{1}{t}x+\log t-1$$
である。$x=0$ とおくと、$\mathrm{A}(0,\log t-1)$。

法線 $m$ の傾きは、接線の傾き $\frac{1}{t}$ との積が $-1$ となるので $-t$ である。よって $m$ の方程式は
$$y-\log t=-t(x-t)\text{すなわち}y=-tx+t^2+\log t$$
である。$x=0$ とおくと、$\mathrm{B}(0,t^2+\log t)$。

$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ はともに $y$ 軸上にあり、
$$\mathrm{AB}=(t^2+\log t)-(\log t-1)=t^2+1(>0)$$
である。三角形 $\mathrm{PAB}$ の底辺を $\mathrm{AB}$ とすると、高さは点 $\mathrm{P}$ と $y$ 軸との距離 $t$ である。よって面積 $S$ は
$$S=\frac{1}{2}(t^2+1)\cdot t=\frac{t^3+t}{2}$$
となる。$S=5$ より
$$t^3+t-10=0$$
$t=2$ を代入すると $8+2-10=0$ なので、左辺は $t-2$ で割り切れ、
$$(t-2)(t^2+2t+5)=0$$
と因数分解できる。$t^2+2t+5=(t+1{)}^2+4>0$ であるから、$t=2$ である。これは $t>0$ を満たす。

したがって、$t=2$。

$y^{\prime }=\frac{1}{x}$ より、点 P における接線 $\ell$ の傾きは $\frac{1}{t}$。$\ell :y-\log t=\frac{1}{t}(x-t)$。$x=0$ とすると $y=\log t-1$ なので A$(0,\log t-1)$。法線 $m$ の傾きは $-t$ で、$m:y-\log t=-t(x-t)$。$x=0$ とすると $y=\log t+t^2$ なので B$(0,\log t+t^2)$。よって AB $=(\log t+t^2)-(\log t-1)=t^2+1$。P から $y$ 軸（直線 AB）までの距離は $t$（$t>0$）。面積は $\frac{1}{2}t(t^2+1)$。これが 5 なので $t^3+t=10$、すなわち $t^3+t-10=(t-2)(t^2+2t+5)=0$。$t^2+2t+5=(t+1{)}^2+4>0$ なので実数解は $t=2$。検算: $t=2$ のとき面積は $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 5=5$ で条件を満たす。また $t^3+t$ は $t>0$ で単調増加なので解は 1 つのみ。