微分法の問題

$y=\frac{1}{x}$ より $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ である。点 $\mathrm{P}$ における接線の傾きは $-\frac{1}{t^2}$ なので、法線の傾きは $t^2$ である。よって法線の方程式は
$$y=t^2(x-t)+\frac{1}{t}=t^{2}x-t^3+\frac{1}{t}$$
これと $y=\frac{1}{x}$ を連立し、両辺に $x$ を掛けて整理すると
$$t^2{x}^2+\left(\frac{1}{t}-t^3\right)x-1=0$$
この $x$ の 2 次方程式の解の 1 つは $x=t$（点 $\mathrm{P}$）である。解と係数の関係より 2 解の積は $-\frac{1}{t^2}$ なので、もう 1 つの解は
$$x=-\frac{1}{t^2}\cdot \frac{1}{t}=-\frac{1}{t^3}$$
したがって $\mathrm{Q}\left(-\frac{1}{t^3},-t^3\right)$ であり、$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{P}$ と異なる点である。

$${\mathrm{PQ}}^2={\left(t+\frac{1}{t^3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{t}+t^3\right)}^2=\frac{(t^4+1{)}^2}{t^6}+\frac{(t^4+1{)}^2}{t^2}=\frac{(t^4+1{)}^2(1+t^4)}{t^6}=\frac{(t^4+1{)}^3}{t^6}$$
よって
$$\mathrm{PQ}={\left(\frac{t^4+1}{t^2}\right)}^{\frac{3}{2}}={\left(t^2+\frac{1}{t^2}\right)}^{\frac{3}{2}}$$
$g(t)=t^2+\frac{1}{t^2}(t>0)$ とおくと
$$g^{\prime }(t)=2t-\frac{2}{t^3}=\frac{2(t^4-1)}{t^3}=\frac{2(t^2+1)(t+1)(t-1)}{t^3}$$
より、$0<t<1$ で $g^{\prime }(t)<0$、$t>1$ で $g^{\prime }(t)>0$ となる。したがって $g(t)$ は $t=1$ で最小値 $g(1)=2$ をとる。$\mathrm{PQ}=\{g(t){\}}^{\frac{3}{2}}$ は $g(t)$ について増加するので、$\mathrm{PQ}$ の最小値は
$$2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}$$
（このとき $\mathrm{P}(1,1)$, 法線 $y=x$, $\mathrm{Q}(-1,-1)$ であり確かに $\mathrm{PQ}=2\sqrt{2}$。）

点 $\mathrm{P}(t,1/t)$ における接線の傾きは $-1/t^2$ なので、法線の傾きは $t^2$ である。法線は $y-\frac{1}{t}=t^2(x-t)$。

これと $y=\frac{1}{x}$ を連立すると $\frac{1}{x}-\frac{1}{t}=t^2(x-t)$。左辺は $\frac{t-x}{xt}$ なので、$(x-t)\left(t^2+\frac{1}{xt}\right)=0$ となる。
$x\ne t$ より $x=-\frac{1}{t^3}$。よって $\mathrm{Q}\left(-\frac{1}{t^3},-t^3\right)$。

${\mathrm{PQ}}^2={\left(t+\frac{1}{t^3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{t}+t^3\right)}^2=\frac{(t^4+1{)}^2}{t^6}+\frac{(t^4+1{)}^2}{t^2}=\frac{(t^4+1{)}^3}{t^6}$。

したがって $\mathrm{PQ}={\left(\frac{t^4+1}{t^2}\right)}^{3/2}={\left(t^2+\frac{1}{t^2}\right)}^{3/2}$。

相加・相乗平均より $t^2+\frac{1}{t^2}\ge 2$（等号は $t=1$）。よって $\mathrm{PQ}\ge 2^{3/2}=2\sqrt{2}$。

検算：$t=1$ のとき $\mathrm{P}(1,1)$、$\mathrm{Q}(-1,-1)$ で、$\mathrm{PQ}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$ となり一致する。

最小値は $2\sqrt{2}$。