微分法の問題

条件を式にする $\mathrm{P}(t,f(t))$ における接線は
$$f^{\prime }(t)(x-t)-(y-f(t))=0$$
点 $\mathrm{M}(t,0)$ とこの直線の距離は、点と直線の距離の公式より
$$\frac{|f^{\prime }(t)\cdot 0-(0-f(t))|}{\sqrt{f^{\prime }(t{)}^2+1}}=\frac{|f(t)|}{\sqrt{f^{\prime }(t{)}^2+1}}$$
$f(0)=1$ で、$x>0$ で $f^{\prime }(x)>0$ より $f$ は増加するから、$t\geqq 0$ で $f(t)\geqq 1>0$。よって条件は
$$f(t{)}^2-f^{\prime }(t{)}^2=1(t\geqq 0)(1)$$

微分して扱いやすい形にする $(1)$ の両辺を $t$ で微分すると
$$2f(t)f^{\prime }(t)-2f^{\prime }(t)f^{\prime \prime }(t)=0$$
$t>0$ では $f^{\prime }(t)>0$ なので両辺を $2f^{\prime }(t)$ で割って
$$f^{\prime \prime }(t)=f(t)(t>0)(2)$$
また $(1)$ で $t=0$ とすると $f^{\prime }(0{)}^2=f(0{)}^2-1=0$ より $f^{\prime }(0)=0$。

補助の関数を導入する $u(t)=e^{-t}\{f(t)+f^{\prime }(t)\}$, $v(t)=e^t\{f(t)-f^{\prime }(t)\}$ とおくと、$(2)$ より $t>0$ で
$$u^{\prime }(t)=e^{-t}\{-f(t)-f^{\prime }(t)+f^{\prime }(t)+f^{\prime \prime }(t)\}=e^{-t}\{f^{\prime \prime }(t)-f(t)\}=0$$
$$v^{\prime }(t)=e^t\{f(t)-f^{\prime }(t)+f^{\prime }(t)-f^{\prime \prime }(t)\}=e^t\{f(t)-f^{\prime \prime }(t)\}=0$$
よって $u,v$ は $t>0$ で定数である。$f$ は $2$ 回微分可能なので $f,f^{\prime }$ は $t=0$ で連続であり、$u,v$ も $t=0$ で連続だから
$$u(t)=u(0)=f(0)+f^{\prime }(0)=1,v(t)=v(0)=f(0)-f^{\prime }(0)=1(t\geqq 0)$$
すなわち
$$f(t)+f^{\prime }(t)=e^t,f(t)-f^{\prime }(t)=e^{-t}$$
辺々を加えて $2$ で割ると
$$f(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$$
（逆にこの $f$ は $f^{\prime }(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}>0(t>0)$、$f(t{)}^2-f^{\prime }(t{)}^2=1$ を満たし、条件に適する。）

値を求める $e^{\log 2}=2$, $e^{-\log 2}=\frac{1}{2}$ より
$$f(\log 2)=\frac{1}{2}\left(2+\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}$$

よって、求める値は $\frac{5}{4}$ である。

点 $\mathrm{P}(t,f(t))$ における接線は $y-f(t)=f^{\prime }(t)(x-t)$、すなわち $f^{\prime }(t)x-y+f(t)-t{f}^{\prime }(t)=0$。点 $\mathrm{M}(t,0)$ との距離は
$$\frac{|f^{\prime }(t)\cdot t-0+f(t)-t{f}^{\prime }(t)|}{\sqrt{f^{\prime }(t{)}^2+1}}=\frac{|f(t)|}{\sqrt{f^{\prime }(t{)}^2+1}}=1.$$
$f(0)=1$ で $x>0$ のとき $f^{\prime }(x)>0$ より $f$ は増加し、$f(t)\geqq 1>0$。よって $f(t{)}^2=f^{\prime }(t{)}^2+1$ すなわち $f^{\prime }(t{)}^2=f(t{)}^2-1$ (①)。

①の両辺を $t$ で微分すると $2f^{\prime }{f}^{\prime \prime }=2f{f}^{\prime }$。$t>0$ で $f^{\prime }>0$ だから $f^{\prime \prime }(t)=f(t)$ ($t>0$)。$f$ は $2$ 回微分可能なので $f^{\prime \prime }$ は連続とはかぎらないが、$t>0$ では $f^{\prime \prime }=f$ より $f(t)=A{e}^t+B{e}^{-t}$ ($t>0$) と書け、$f$ の連続性から $t\to +0$ として $A+B=f(0)=1$。
①に代入して $(A{e}^t-B{e}^{-t}{)}^2=(A{e}^t+B{e}^{-t}{)}^2-1$ より $-4AB=-1$、$AB=\frac{1}{4}$。$A+B=1$, $AB=\frac{1}{4}$ より $A,B$ は $s^2-s+\frac{1}{4}=0$ すなわち $(s-\frac{1}{2}{)}^2=0$ の解で $A=B=\frac{1}{2}$。
ゆえに $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$。このとき $f^{\prime }(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}>0$ ($x>0$) で、$f^2-f^{\prime 2}=1$ なので条件を満たす。

$f(\log 2)=\frac{2+\frac{1}{2}}{2}=\frac{5}{4}$。

検算: $f^{\prime }(\log 2)=\frac{2-\frac{1}{2}}{2}=\frac{3}{4}$、$f^2-f^{\prime 2}=\frac{25}{16}-\frac{9}{16}=1$ で①を満たす。