微分法の問題

$y=x{e}^x$ を積の微分法で微分すると
$$y^{\prime }=1\cdot e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$$
となる。$x=1$ のとき $y^{\prime }=2e$ なので、点 $\mathrm{P}(1,e)$ における接線の傾きは $2e$ である。

接線 $\ell$
$$y-e=2e(x-1)\text{より}y=2ex-e$$
$x=0$ とすると $y=-e$ なので、$\ell$ と $y$ 軸の交点は $\mathrm{A}(0,-e)$ である。

法線 $m$
法線の傾きは接線の傾き $2e$ との積が $-1$ になるので $-\frac{1}{2e}$ である。よって
$$y-e=-\frac{1}{2e}(x-1)\text{より}y=-\frac{1}{2e}x+e+\frac{1}{2e}$$
$x=0$ とすると $y=e+\frac{1}{2e}$ なので、$m$ と $y$ 軸の交点は $\mathrm{B}\left(0,e+\frac{1}{2e}\right)$ である。

面積
三角形 $\mathrm{PAB}$ の底辺を $y$ 軸上の線分 $\mathrm{AB}$ とすると、その長さは
$$\left(e+\frac{1}{2e}\right)-(-e)=2e+\frac{1}{2e}$$
である。高さは点 $\mathrm{P}$ から $y$ 軸までの距離で $1$ である。したがって
$$S=\frac{1}{2}\cdot \left(2e+\frac{1}{2e}\right)\cdot 1=e+\frac{1}{4e}$$
となる。（通分すると $\frac{4e^2+1}{4e}$ である。）

$y=x{e}^x$ より $y^{\prime }=(1+x)e^x$。$x=1$ で傾きは $2e$。
接線 $\ell$: $y-e=2e(x-1)$ より $y=2ex-e$。$y$ 切片は $-e$。
法線 $m$: 傾き $-\frac{1}{2e}$。$y-e=-\frac{1}{2e}(x-1)$ より $y=-\frac{1}{2e}x+\frac{1}{2e}+e$。$y$ 切片は $e+\frac{1}{2e}$。
2 直線は点 P で交わり、P の $x$ 座標は 1 なので、$y$ 軸上の線分を底辺、P までの距離 1 を高さとする三角形になる。
底辺の長さは $\left(e+\frac{1}{2e}\right)-(-e)=2e+\frac{1}{2e}$。
面積 $S=\frac{1}{2}\cdot \left(2e+\frac{1}{2e}\right)\cdot 1=e+\frac{1}{4e}$。
検算: $e\approx 2.718$ とすると、底辺は $5.436+0.184=5.620$、面積は $2.810$。$e+\frac{1}{4e}\approx 2.718+0.092=2.810$ で一致する。