微分法の問題

積の微分法を用いる。
$$f^{\prime }(x)=3x^2{e}^{-x}+x^3\cdot (-e^{-x})=(3x^2-x^3)e^{-x}$$
さらに微分して
$$f^{\prime \prime }(x)=(6x-3x^2)e^{-x}+(3x^2-x^3)\cdot (-e^{-x})=(6x-3x^2-3x^2+x^3)e^{-x}=(x^3-6x^2+6x)e^{-x}$$
よって
$$f^{\prime \prime }(x)=x(x^2-6x+6)e^{-x}$$
である。$e^{-x}>0$ なので、$f^{\prime \prime }(x)=0$ となるのは $x=0$ または $x^2-6x+6=0$ のときである。後者を解くと
$$x=3\pm \sqrt{9-6}=3\pm \sqrt{3}$$
である。$0<3-\sqrt{3}<3+\sqrt{3}$ であり、$x(x^2-6x+6)=x\{x-(3-\sqrt{3})\}\{x-(3+\sqrt{3})\}$ の符号を調べると
- $x<0$ のとき $f^{\prime \prime }(x)<0$（上に凸）
- $0<x<3-\sqrt{3}$ のとき $f^{\prime \prime }(x)>0$（下に凸）
- $3-\sqrt{3}<x<3+\sqrt{3}$ のとき $f^{\prime \prime }(x)<0$（上に凸）
- $x>3+\sqrt{3}$ のとき $f^{\prime \prime }(x)>0$（下に凸）

となる。$f^{\prime \prime }(x)$ の符号は $x=0,3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}$ の前後でいずれも変わるので、これら 3 つの点はすべて変曲点である。

よって、変曲点の $x$ 座標は $0,3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}$ である。

$f^{\prime }(x)=3x^2{e}^{-x}-x^3{e}^{-x}=(3x^2-x^3)e^{-x}$。$f^{\prime \prime }(x)=(6x-3x^2)e^{-x}-(3x^2-x^3)e^{-x}=(x^3-6x^2+6x)e^{-x}=x(x^2-6x+6)e^{-x}$。\n\n$e^{-x}>0$ なので $f^{\prime \prime }(x)=0$ となるのは $x=0$ または $x^2-6x+6=0$、すなわち $x=3\pm \sqrt{3}$。これら 3 つはすべて異なる単純な零点なので、それぞれの前後で $f^{\prime \prime }$ の符号が変わる。実際、$3-\sqrt{3}\approx 1.27$、$3+\sqrt{3}\approx 4.73$ で、$f^{\prime \prime }$ の符号は $x<0$ で負、$0<x<3-\sqrt{3}$ で正、$3-\sqrt{3}<x<3+\sqrt{3}$ で負、$x>3+\sqrt{3}$ で正。\n\nよって変曲点の $x$ 座標は $0,3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}$。\n\n検算: $x=1$ で $f^{\prime \prime }=1\cdot 1\cdot e^{-1}>0$、$x=2$ で $2(4-12+6)=-4<0$、$x=5$ で $5(25-30+6)=5>0$、$x=-1$ で $-1\cdot 13<0$ で符号の変化と一致。