微分法の問題

$f(x)=(x+1)e^{-x}$ とおきます。定義域はすべての実数です。

手順1：第1次導関数を求める

積の微分の公式と $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$ を使います。
$$f^{\prime }(x)=1\cdot e^{-x}+(x+1)\cdot (-e^{-x})=-x{e}^{-x}$$
$e^{-x}>0$ なので、$f^{\prime }(x)$ の符号は $-x$ の符号と同じです。$x<0$ で $f^{\prime }(x)>0$、$x>0$ で $f^{\prime }(x)<0$ となり、$f^{\prime }(0)=0$ です。

手順2：第2次導関数を求める

$$f^{\prime \prime }(x)=(-1)\cdot e^{-x}+(-x)\cdot (-e^{-x})=(x-1)e^{-x}$$
$f^{\prime \prime }(x)$ の符号は $x-1$ の符号と同じです。$x<1$ で $f^{\prime \prime }(x)<0$（上に凸）、$x>1$ で $f^{\prime \prime }(x)>0$（下に凸）となり、$f^{\prime \prime }(1)=0$ です。

手順3：増減・凹凸の表を作る

極大値は $f(0)=(0+1)e^0=1$ です。

手順4：極限（漸近線）を調べる

$$\underset{x\to \infty }{\lim }(x+1)e^{-x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+1}{e^x}=0$$
したがって、直線 $y=0$（$x$ 軸）が漸近線です。また、$x\to -\infty$ のとき $x+1\to -\infty$、$e^{-x}\to \infty$ なので、$f(x)\to -\infty$ です。

手順5：変曲点を求める

$x=1$ の前後で $f^{\prime \prime }(x)$ の符号が負から正に変わり、凹凸が入れかわります。よって $x=1$ に対応する点が変曲点です。
$$f(1)=(1+1)e^{-1}=\frac{2}{e}$$

以上より、グラフは点 $(0,1)$ で極大となり、$x\to \infty$ で $x$ 軸に近づきます。変曲点の座標は $\left(1,\frac{2}{e}\right)$ です。

$y=(x+1)e^{-x}$ とする。

$y^{\prime }=e^{-x}-(x+1)e^{-x}=-x{e}^{-x}$。$e^{-x}>0$ なので、$y^{\prime }$ の符号は $-x$ の符号と一致する。よって $x<0$ で $y^{\prime }>0$（増加）、$x>0$ で $y^{\prime }<0$（減少）。$x=0$ で極大値 $y=1$。

$y^{\prime \prime }=-e^{-x}+x{e}^{-x}=(x-1)e^{-x}$。$x<1$ で $y^{\prime \prime }<0$（上に凸）、$x>1$ で $y^{\prime \prime }>0$（下に凸）。$x=1$ の前後で符号が変わるので変曲点であり、$y=2e^{-1}=\frac{2}{e}$。

増減表:
- $x<0$: $y^{\prime }>0$, $y^{\prime \prime }<0$（増加・上に凸）
- $x=0$: 極大値 1
- $0<x<1$: 減少・上に凸
- $x=1$: 変曲点 $(1,2/e)$
- $x>1$: 減少・下に凸

検算: $y^{\prime \prime }$ を $y^{\prime }=-x{e}^{-x}$ の微分として積の微分で計算すると $-e^{-x}+x{e}^{-x}$ となり、上の結果と一致する。

また $x\to \infty$ で $y\to 0$（$x\to -\infty$ では $y\to -\infty$）。

変曲点は $\left(1,\frac{2}{e}\right)$。