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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

関数 $y = \frac{lo g x}{x} (x > 0)$ について、増減、グラフの凹凸、漸近線を調べてグラフの概形をかきたい。このグラフの変曲点の座標を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とし、 $e$ は自然対数の底とする。また、必要ならば $x \to \infty lim \frac{lo g x}{x} = 0$ を用いてよい。

この問題で使うもの

増減・凹凸・漸近線とグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「増減・凹凸・漸近線とグラフ」を使います。変曲点は凹凸が入れかわる点なので、商の微分で $y^{'}$ と $y^{''}$ を求め、 $y^{''}$ の符号を調べましょう。

ヒント 2

$y^{'} = \frac{1 - lo g x}{x ^{2}}$ です。これをもう一度商の微分で微分すると、分母は $x^{4}$ になります。分子を整理して $x$ でくくり、約分しましょう。

ヒント 3

$y^{''} = \frac{2 lo g x - 3}{x ^{3}}$ となります。 $x > 0$ では分母が正なので、 $2 lo g x - 3 = 0$ となる $x$ の前後で $y^{''}$ の符号が変わります。

答えと解説

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(e^{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2 e ^{\frac{3}{2}}})

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解説を読む

手順 1：定義域と導関数を求める

定義域は $x > 0$ である。商の微分を使うと
$y^{'} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - lo g x \cdot 1}{x ^{2}} = \frac{1 - lo g x}{x ^{2}}$

手順 2：増減を調べる

$x^{2} > 0$ なので、 $y^{'}$ の符号は $1 - lo g x$ の符号と同じである。 $y^{'} = 0$ となるのは $lo g x = 1$ 、つまり $x = e$ のときである。
- $0 < x < e$ のとき $y^{'} > 0$ なので増加する
- $x > e$ のとき $y^{'} < 0$ なので減少する

よって $x = e$ で極大となり、極大値は $\frac{lo g e}{e} = \frac{1}{e}$ である。

手順 3：第 2 次導関数で凹凸を調べる

$y^{'} = \frac{1 - lo g x}{x ^{2}}$ をさらに商の微分で微分する。
$y^{''} = \frac{- \frac{1}{x} \cdot x ^{2} - ( 1 - lo g x ) \cdot 2 x}{x ^{4}} = \frac{- x - 2 x + 2 x lo g x}{x ^{4}} = \frac{2 lo g x - 3}{x ^{3}}$

$x^{3} > 0$ なので、 $y^{''}$ の符号は $2 lo g x - 3$ の符号と同じである。 $y^{''} = 0$ となるのは $lo g x = \frac{3}{2}$ 、つまり $x = e^{\frac{3}{2}}$ のときである。
- $0 < x < e^{\frac{3}{2}}$ のとき $y^{''} < 0$ なので上に凸である
- $x > e^{\frac{3}{2}}$ のとき $y^{''} > 0$ なので下に凸である

$x = e^{\frac{3}{2}}$ の前後で凹凸が入れかわるので、この点は変曲点である。そのときの $y$ 座標は
$y = \frac{\frac{3}{2}}{e ^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2 e ^{\frac{3}{2}}}$
である。なお、 $e < e^{\frac{3}{2}}$ なので、変曲点は極大点より右にある。

手順 4：極限から漸近線を調べる

$x \to + 0$ のとき $lo g x \to - \infty$ 、 $\frac{1}{x} \to \infty$ なので $y = lo g x \cdot \frac{1}{x} \to - \infty$ となる。よって直線 $x = 0$ （ $y$ 軸）が漸近線である。

$x \to \infty$ のとき、与えられた極限より $y \to 0$ となる。よって直線 $y = 0$ （ $x$ 軸）が漸近線である。

手順 5：グラフの概形をまとめる

グラフは $y$ 軸に沿って下から上がってきて、点 $(1, 0)$ を通り、上に凸のまま点 $(e, \frac{1}{e})$ で極大となる。その後は減少し、点 $(e^{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2 e ^{\frac{3}{2}}})$ で下に凸へ変わり、 $x$ 軸に近づいていく。

以上より、変曲点の座標は $(e^{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2 e ^{\frac{3}{2}}})$ である。

別解

$y = \frac{l o g x}{x}$ とする。

$y^{'} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - l o g x}{x ^{2}} = \frac{1 - l o g x}{x ^{2}}$

$y^{''} = \frac{- \frac{1}{x} \cdot x ^{2} - ( 1 - l o g x ) \cdot 2 x}{x ^{4}} = \frac{- x - 2 x + 2 x l o g x}{x ^{4}} = \frac{2 l o g x - 3}{x ^{3}}$

$y^{''} = 0$ より $lo g x = \frac{3}{2}$ 、すなわち $x = e^{3/2}$ 。

$0 < x < e^{3/2}$ では $y^{''} < 0$ （上に凸）、 $x > e^{3/2}$ では $y^{''} > 0$ （下に凸）なので、 $x = e^{3/2}$ の前後で符号が変わり、変曲点になる。

このとき $y = \frac{3/2}{e ^{3/2}} = \frac{3}{2} e^{- 3/2} = \frac{3}{2 e e}$ 。

検算として、 $x = e^{3/2}$ の前後で $y^{''}$ の符号が変わることを確認した。たとえば $x = 1$ では $y^{''} = - 3 < 0$ 、 $x = e^{2}$ では $y^{''} = \frac{1}{e ^{6}} > 0$ 。

よって変曲点は $(e^{3/2}, \frac{3}{2} e^{- 3/2})$ 。

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