微分法の問題

凹凸は第 2 次導関数 $y^{\prime \prime }$ の符号で決まります。$y^{\prime \prime }>0$ の区間で下に凸、$y^{\prime \prime }<0$ の区間で上に凸です。そこで、まず $y^{\prime }$、次に $y^{\prime \prime }$ を求めます。

手順 1：第 1 次導関数を求める

$x^2+1>0$ なので、定義域はすべての実数です。合成関数の微分 $(\log u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ を使うと
$$y^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$$
となります。分母は常に正なので、$y^{\prime }$ の符号は $2x$ の符号と同じです。よって $x<0$ で減少、$x>0$ で増加し、$x=0$ で極小値 $y=\log 1=0$ をとります。

手順 2：第 2 次導関数を求める

商の微分を使うと
$$y^{\prime \prime }=\frac{2\cdot (x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-2(x+1)(x-1)}{(x^2+1{)}^2}$$
となります。

手順 3：$y^{\prime \prime }$ の符号を調べる

分母 $(x^2+1{)}^2$ は常に正なので、$y^{\prime \prime }$ の符号は $2-2x^2$ の符号と同じです。
$$2-2x^2>0⟺x^2<1⟺-1<x<1$$

したがって、$-1<x<1$ で $y^{\prime \prime }>0$ となり、グラフは下に凸です。$x<-1$ と $1<x$ では $y^{\prime \prime }<0$ となり、グラフは上に凸です。

凹凸が入れかわる点 $(\pm 1,\log 2)$ が変曲点です。グラフは $y$ 軸に関して対称で、原点で最小値 $0$ をとる、なだらかな谷の形になります。

答え：$-1<x<1$

$y=\log (x^2+1)$ より $y^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$。

$y^{\prime \prime }=\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2(1-x)(1+x)}{(x^2+1{)}^2}$。

分母は常に正なので、$y^{\prime \prime }>0$ となるのは $1-x^2>0$、すなわち $-1<x<1$ のとき。

検算：$x=0$ で $y^{\prime \prime }=2>0$。$x=2$ で $y^{\prime \prime }=(2-8)/25<0$。よって上の結果と合致する。

答え：$-1<x<1$