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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

関数 $y = x e^{- x}$ の増減、グラフの凹凸、漸近線を調べて、グラフの概形をかきたい。このグラフの変曲点の座標を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底であり、必要ならば $x \to \infty lim \frac{x}{e ^{x}} = 0$ を用いてよい。

この問題で使うもの

積と商の微分（説明と入口の問題）
合成関数の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（説明と入口の問題）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（48 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「増減・凹凸・漸近線とグラフ」の技能を使います。 $y^{'}$ と $y^{''}$ を求め、その符号を調べて増減表を作りましょう。

ヒント 2

積の微分を使うと $y^{'} = (1 - x) e^{- x}$ です。 $e^{- x} > 0$ なので、 $y^{''}$ の符号は $e^{- x}$ 以外の因数だけで決まります。

ヒント 3

$y^{''} = (x - 2) e^{- x}$ となり、 $x = 2$ の前後で $y^{''}$ の符号が負から正に変わります。あとは $x = 2$ のときの $y$ の値を求めましょう。

答えと解説

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(2, \frac{2}{e ^{2}})

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解説を読む

$f (x) = x e^{- x}$ とおく。定義域はすべての実数である。

手順1：第1次導関数で増減を調べる

積の微分と $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ より
$f^{'} (x) = 1 \cdot e^{- x} + x \cdot (- e^{- x}) = (1 - x) e^{- x}$
$e^{- x} > 0$ なので、 $f^{'} (x)$ の符号は $1 - x$ の符号と一致する。よって $x < 1$ で増加、 $x > 1$ で減少し、 $x = 1$ で極大値 $f (1) = \frac{1}{e}$ をとる。

手順2：第2次導関数で凹凸を調べる

$f^{''} (x) = (- 1) \cdot e^{- x} + (1 - x) \cdot (- e^{- x}) = (x - 2) e^{- x}$
$e^{- x} > 0$ なので、 $f^{''} (x)$ の符号は $x - 2$ の符号と一致する。よって $x < 2$ で $f^{''} (x) < 0$ （上に凸）、 $x > 2$ で $f^{''} (x) > 0$ （下に凸）となり、 $x = 2$ の前後で凹凸が入れかわる。

手順3：増減表にまとめる

$x$	$\dots$	$1$	$\dots$	$2$	$\dots$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$f^{''} (x)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	増加・上に凸	$\frac{1}{e}$	減少・上に凸	$\frac{2}{e ^{2}}$	減少・下に凸

手順4：極限から漸近線を調べる

$x \to \infty lim x e^{- x} = x \to \infty lim \frac{x}{e ^{x}} = 0$ より、直線 $y = 0$ （ $x$ 軸）が漸近線である。また $x \to - \infty lim x e^{- x} = - \infty$ である。

以上から、グラフは原点を通って増加し、点 $(1, \frac{1}{e})$ で極大となったあと減少し、 $x = 2$ で上に凸から下に凸へ変わって、 $x \to \infty$ で $x$ 軸に近づく。

変曲点は $x = 2$ のときで、 $y$ 座標は
$f (2) = 2 e^{- 2} = \frac{2}{e ^{2}}$
したがって、変曲点の座標は $(2, \frac{2}{e ^{2}})$ である。

別解

$y = x e^{- x}$ を微分すると $y^{'} = e^{- x} - x e^{- x} = (1 - x) e^{- x}$ である。
$y^{''} = - e^{- x} - (1 - x) e^{- x} = (x - 2) e^{- x}$ である。
$e^{- x} > 0$ なので、 $y^{''}$ の符号は $x - 2$ の符号と一致する。 $x < 2$ では $y^{''} < 0$ で上に凸、 $x > 2$ では $y^{''} > 0$ で下に凸となる。 $x = 2$ の前後で符号が変わるので、 $x = 2$ が変曲点の $x$ 座標である。
$x = 2$ のとき $y = 2 e^{- 2} = \frac{2}{e ^{2}}$ である。
参考として、 $y^{'} = 0$ より $x = 1$ で極大値 $e^{- 1}$ をとる。また $x \to \infty$ で $y \to 0$ なので漸近線は $x$ 軸である。
検算： $x = 1$ で $y^{''} = - e^{- 1} < 0$ で極大と矛盾しない。 $x = 3$ では $y^{''} = e^{- 3} > 0$ である。
変曲点は $(2, \frac{2}{e ^{2}})$ である。

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