微分法の問題

$y=(x^2+1{)}^x$ は底にも指数にも $x$ を含みます。そのため、$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ も $(a^x{)}^{\prime }=a^x\log a$ も、そのままでは使えません。そこで、両辺の対数をとってから微分する「対数微分法」を使います。

手順1：両辺の対数をとる

すべての実数 $x$ で $x^2+1>0$ なので $y=(x^2+1{)}^x>0$ です。よって両辺の自然対数をとることができます。
$$\log y=\log (x^2+1{)}^x=x\log (x^2+1)$$
対数の性質 $\log M^k=k\log M$ を使って、指数 $x$ を前に出しました。

手順2：両辺を $x$ で微分する

左辺の $\log y$ は、$y$ が $x$ の関数なので合成関数の微分を使います。
$$(\log y{)}^{\prime }=\frac{y^{\prime }}{y}$$
右辺は積の微分を使います。$\log (x^2+1)$ の微分は合成関数の微分により $\frac{2x}{x^2+1}$ です。
$$\{x\log (x^2+1){\}}^{\prime }=1\cdot \log (x^2+1)+x\cdot \frac{2x}{x^2+1}=\log (x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}$$
よって
$$\frac{y^{\prime }}{y}=\log (x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}$$

手順3：$y^{\prime }$ を求める

両辺に $y=(x^2+1{)}^x$ を掛けると
$$y^{\prime }=(x^2+1{)}^x\left\{\log (x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}\right\}$$

手順4：$x=1$ を代入する

$x=1$ のとき $(x^2+1{)}^x=2^1=2$、$\log (x^2+1)=\log 2$、$\frac{2x^2}{x^2+1}=\frac{2}{2}=1$ なので
$$y^{\prime }=2(\log 2+1)=2\log 2+2$$

答え：$2\log 2+2$

$y=(x^2+1{)}^x$ は常に $x^2+1>0$ なので、両辺の自然対数をとると $\log y=x\log (x^2+1)$ となる。
両辺を $x$ で微分すると $\frac{y^{\prime }}{y}=\log (x^2+1)+x\cdot \frac{2x}{x^2+1}$ となる。
よって $y^{\prime }=(x^2+1{)}^x\left\{\log (x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1}\right\}$ である。
$x=1$ のとき $y=2$、括弧内は $\log 2+\frac{2}{2}=\log 2+1$ なので、$y^{\prime }(1)=2(1+\log 2)=2+2\log 2$ となる。
検算として、$f(x)=e^{x\log (x^2+1)}$ の指数部分 $g(x)=x\log (x^2+1)$ について $g^{\prime }(1)=\log 2+1$、$f(1)=e^{\log 2}=2$ より $f^{\prime }(1)=2(\log 2+1)$ となり一致する。