微分法の問題

$f(x)=x^x$ は底にも指数にも $x$ を含みます。そのため $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ も $(a^x{)}^{\prime }=a^x\log a$ もそのままでは使えません。そこで両辺の自然対数をとってから微分する（対数微分法）ことにします。

手順1：両辺の対数をとる

$x>0$ のとき $f(x)=x^x>0$ なので、両辺の自然対数をとることができます。
$$\log f(x)=\log x^x=x\log x$$
ここで、対数の性質 $\log M^k=k\log M$ を使いました。

手順2：両辺を $x$ で微分する

左辺は合成関数の微分により
$${\left(\log f(x)\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$$
となります。右辺は積の微分により
$$(x\log x{)}^{\prime }=1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1$$
となります。よって
$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\log x+1$$

手順3：$f^{\prime }(x)$ について解く

両辺に $f(x)=x^x$ を掛けると
$$f^{\prime }(x)=x^x(\log x+1)$$

手順4：$x=e$ を代入する

$\log e=1$ なので
$$f^{\prime }(e)=e^e(\log e+1)=e^e(1+1)=2e^e$$

したがって $f^{\prime }(e)=2e^e$ です。

$f(x)=x^x$ の両辺の自然対数をとると $\log f(x)=x\log x$。両辺を $x$ で微分すると $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1$。よって $f^{\prime }(x)=x^x(\log x+1)$。$x=e$ を代入すると $f^{\prime }(e)=e^e(\log e+1)=e^e(1+1)=2e^e$。検算：$f(x)=e^{x\log x}$ とみて合成関数の微分をすると $f^{\prime }(x)=e^{x\log x}(\log x+1)$ となり、同じ結果になる。