微分法の問題

$y=e^{-x}$ より $y^{\prime }=-e^{-x}$ なので、点 $\mathrm{P}(t,e^{-t})$ における接線 $\ell$ の方程式は
$$y-e^{-t}=-e^{-t}(x-t)\text{すなわち}y=-e^{-t}x+(t+1)e^{-t}$$
である。

$y=0$ とおくと $e^{-t}x=(t+1)e^{-t}$ より $x=t+1$。よって $\mathrm{Q}(t+1,0)$。

$x=0$ とおくと $y=(t+1)e^{-t}$。よって $\mathrm{R}(0,(t+1)e^{-t})$。

$t>0$ より $t+1>0$, $(t+1)e^{-t}>0$ なので、三角形 $\mathrm{OQR}$ は直角三角形で、その面積を $S(t)$ とすると
$$S(t)=\frac{1}{2}(t+1)\cdot (t+1)e^{-t}=\frac{1}{2}(t+1{)}^2{e}^{-t}$$
である。$t$ で微分すると
$$S^{\prime }(t)=\frac{1}{2}\left\{2(t+1)e^{-t}-(t+1{)}^2{e}^{-t}\right\}=\frac{1}{2}(t+1)e^{-t}\{2-(t+1)\}=\frac{1}{2}(t+1)(1-t)e^{-t}$$
$t>0$ では $(t+1)e^{-t}>0$ なので、$S^{\prime }(t)$ の符号は $1-t$ の符号と一致する。よって $0<t<1$ で $S^{\prime }(t)>0$、$t>1$ で $S^{\prime }(t)<0$ であり、$S(t)$ は $t=1$ で増加から減少に変わる。したがって $S(t)$ は $t=1$ で最大となり、最大値は
$$S(1)=\frac{1}{2}\cdot 2^2\cdot e^{-1}=\frac{2}{e}$$
である。

$y^{\prime }=-e^{-x}$ より、P における接線 $\ell$ は $y-e^{-t}=-e^{-t}(x-t)$。$y=0$ とすると $x=t+1$ なので $\mathrm{Q}(t+1,0)$。$x=0$ とすると $y=e^{-t}+t{e}^{-t}=(t+1)e^{-t}$ なので $\mathrm{R}(0,(t+1)e^{-t})$。$t>0$ より Q, R はともに正の軸上にあり、三角形 OQR の面積は $S(t)=\frac{1}{2}(t+1)\cdot (t+1)e^{-t}=\frac{1}{2}(t+1{)}^2{e}^{-t}$。\n\n$S^{\prime }(t)=\frac{1}{2}\{2(t+1)-(t+1{)}^2\}{e}^{-t}=\frac{1}{2}(t+1)(1-t)e^{-t}$。$t>0$ で $t+1>0$ なので、$0<t<1$ で $S^{\prime }>0$、$t>1$ で $S^{\prime }<0$。よって $t=1$ で最大となり、最大値は $S(1)=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot e^{-1}=\frac{2}{e}$。\n\n検算: $t=1$ のとき Q$(2,0)$、R$(0,2/e)$、面積 $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{2}{e}=\frac{2}{e}\approx 0.736$。$t=2$ では $\frac{1}{2}\cdot 9e^{-2}\approx 0.609$、$t=0.5$ では $\frac{1}{2}\cdot 2.25e^{-0.5}\approx 0.682$ でいずれも小さい。