微分法の問題

積の微分法により
$$f^{\prime }(x)=(2x+a)e^{-x}-(x^2+ax+1)e^{-x}=-\{x^2+(a-2)x+1-a\}{e}^{-x}$$
である。ここで
$$x^2+(a-2)x+1-a=(x-1)(x-1+a)$$
と因数分解できる（展開すると $x^2+(a-1)x-x-(a-1)\cdot 1=x^2+(a-2)x+1-a$ となり一致する）。よって
$$f^{\prime }(x)=-(x-1)\{x-(1-a)\}{e}^{-x}$$
であり、$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=1,1-a$ である。$a\ne 0$ より、この 2 つは異なる。

(i) $a>0$ のとき

$1-a<1$ である。$e^{-x}>0$ に注意すると、$f^{\prime }(x)$ の符号は $-(x-1)\{x-(1-a)\}$ の符号と一致し、
- $x<1-a$ で $f^{\prime }(x)<0$
- $1-a<x<1$ で $f^{\prime }(x)>0$
- $x>1$ で $f^{\prime }(x)<0$

となる。よって $f(x)$ は $x=1-a$ で極小、$x=1$ で極大となる。極小値は
$$f(1-a)=\{(1-a{)}^2+a(1-a)+1\}{e}^{-(1-a)}=\{(1-a)(1-a+a)+1\}{e}^{a-1}=(2-a)e^{a-1}$$
である。よって $m(a)=(2-a)e^{a-1}$。

これを $a>0$ の関数とみて微分すると
$$m^{\prime }(a)=-e^{a-1}+(2-a)e^{a-1}=(1-a)e^{a-1}$$
となるので、$0<a<1$ で $m^{\prime }(a)>0$、$a>1$ で $m^{\prime }(a)<0$ である。よって $a>0$ において $m(a)$ は $a=1$ で最大となり、最大値は
$$m(1)=(2-1)e^0=1$$
である。

(ii) $a<0$ のとき

$1-a>1$ である。同様に符号を調べると、$x<1$ で $f^{\prime }(x)<0$、$1<x<1-a$ で $f^{\prime }(x)>0$、$x>1-a$ で $f^{\prime }(x)<0$ となるので、$f(x)$ は $x=1$ で極小となる。極小値は
$$m(a)=f(1)=(2+a)e^{-1}=\frac{2+a}{e}$$
である。$a<0$ より $m(a)<\frac{2}{e}$ である。ここで $e>2$ より $\frac{2}{e}<1$ なので、$a<0$ のとき $m(a)<1$ である。

(i), (ii) より、$m(a)$ の最大値は $1$（$a=1$ のとき）である。

$f^{\prime }(x)=(2x+a)e^{-x}-(x^2+ax+1)e^{-x}=-(x^2+(a-2)x+1-a)e^{-x}=-(x-1)(x-(1-a))e^{-x}$。$a\ne 0$ より 2 つの零点 $x=1,1-a$ は異なる。$f^{\prime }$ の符号は $-(x-1)(x-1+a)$ の符号で、上に凸の二次式なので、小さい方の零点の前後で負から正（極小）、大きい方で正から負（極大）となる。

(i) $a>0$ のとき: $1-a<1$ なので極小は $x=1-a$。$m(a)=f(1-a)=\{(1-a{)}^2+a(1-a)+1\}{e}^{a-1}=(2-a)e^{a-1}$。$m^{\prime }(a)=-e^{a-1}+(2-a)e^{a-1}=(1-a)e^{a-1}$。$0<a<1$ で増加、$a>1$ で減少なので $a=1$ で最大、$m(1)=1$。

(ii) $a<0$ のとき: $1<1-a$ なので極小は $x=1$。$m(a)=f(1)=(2+a)e^{-1}<\frac{2}{e}<1$。

以上より最大値は $a=1$ のときの $1$。検算: $a=1$ のとき $f(x)=(x^2+x+1)e^{-x}$、$f^{\prime }(x)=-x(x-1+1)\cdot$ ではなく $-(x-1)x{e}^{-x}$ なので、$x=0$ で極小、$f(0)=1$。一致する。